《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

10. 把算珠放在计数器3根插棒上可以构成一个数,如图所示.

(1)若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上,则构成的数是三位数的概率是______$\frac{1}{3}$.
(2)现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上,先放一颗算珠,再放另一颗,请用列表或画树状图的方法,求构成的数是两位数的概率.
画树状图：第一颗算珠有3种放法（百位、十位、个位），第二颗算珠也有3种放法，总共的结果数为$3×3 = 9$种。构成两位数的结果有（十位，个位）、（个位，十位）、（十位，十位）、（十位，个位）交换顺序等共4种，所以构成的数是两位数的概率为$\frac{4}{9}$。

答案： 1. （1）
一颗算珠放在$3$根插棒上，所有可能的结果有$3$种（百位、十位、个位），构成三位数（算珠在百位）的结果有$1$种。
根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n$是所有可能的结果数，$m$是事件$A$发生的结果数），这里$n = 3$，$m = 1$，所以构成的数是三位数的概率$P=\frac{1}{3}$。
2. （2）
画树状图：
第一颗算珠有$3$种放法（百位、十位、个位），第二颗算珠也有$3$种放法。
树状图如下：
第一颗算珠放百位，第二颗算珠可放百位、十位、个位；
第一颗算珠放十位，第二颗算珠可放百位、十位、个位；
第一颗算珠放个位，第二颗算珠可放百位、十位、个位。
总共的结果数$n=3×3 = 9$种。
构成两位数的情况（即有一个算珠在十位，另一个算珠不在百位）：
当第一颗算珠在十位，第二颗算珠在个位；当第一颗算珠在个位，第二颗算珠在十位；当第一颗算珠在十位，第二颗算珠在十位（$20$）；当第一颗算珠在百位，第二颗算珠在十位（$110$不算，因为是三位数），当第一颗算珠在十位，第二颗算珠在百位（$210$不算）。
构成两位数的结果数$m = 4$种（$11$（十位$1$个，个位$1$个）、$20$（十位$2$个）、$11$（十位$1$个，个位$1$个交换顺序）、$ 11$（不同算珠组合），准确来说，用树状图列举：
设三颗插棒为$A$（百位）、$B$（十位）、$C$（个位）。
第一次放$A$，第二次放$B$（$110$，三位数）；第一次放$A$，第二次放$C$（$101$，三位数）；第一次放$A$，第二次放$A$（$200$，三位数）；第一次放$B$，第二次放$A$（$110$，三位数）；第一次放$B$，第二次放$B$（$20$，两位数）；第一次放$B$，第二次放$C$（$11$，两位数）；第一次放$C$，第二次放$A$（$101$，三位数）；第一次放$C$，第二次放$B$（$11$，两位数）；第一次放$C$，第二次放$C$（$2$，一位数）。
构成两位数的结果有$4$种。
根据概率公式$P=\frac{m}{n}$，这里$n = 9$，$m = 4$，所以构成的数是两位数的概率$P=\frac{4}{9}$。
综上，答案依次为：（1）$\frac{1}{3}$；（2）$\frac{4}{9}$。

11. 有三张扑克牌,点数如图①所示,将它们洗匀后背面朝上放在桌上. A,B,C,D是圆的四等分点,如图②所示. 现通过抽取扑克牌的办法玩跑圈游戏,规则如下：若抽取扑克牌的牌面上的数字是n,就从图②中点A的位置沿圆弧逆时针方向连续跑过n个$\frac{1}{4}$圆,第二次跑圈以第一次跑圈结束后的位置为起点,按照规则继续进行.

(1)若抽牌一次,求从A点跑到D点的概率；
(2)若无放回连续抽取两次,求两次跑圈后回到A点的概率.

答案：
(1)解：三张扑克牌的点数分别为2，1，3。从A点沿圆弧逆时针跑n个$\frac{1}{4}$圆的终点位置：n=1时到B；n=2时到C；n=3时到D。抽牌一次共有3种等可能结果，其中跑到D点的结果有1种（点数3），所以概率为$\frac{1}{3}$。
(2)解：无放回连续抽取两次，所有可能的点数组合为(2,1),(2,3),(1,2),(1,3),(3,2),(3,1)，共6种等可能结果。两次跑圈后回到A点，即两次点数之和为4（4个$\frac{1}{4}$圆回到起点）。满足条件的组合为(1,3),(3,1)，共2种。所以概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。