《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 下列方程为一元二次方程的是______(填序号).
①$x^2 + 2 = 0$;②$x^2 + 2x - a = 0$;③$x + \frac{1}{x} - 3 = 0$;④$\sqrt{x^2 + 2x - 3} = 0$;⑤$ax^2 + 3x - 4 = 0$;⑥$y^2 + 2y = 5$;⑦$3x^2 + 2x = 3(x^2 - 2)$;⑧$a^3 - 9a - 1 = 0$.
①⑥

答案： 解：①⑥
解析：一元二次方程需满足“只含一个未知数、未知数最高次数是2、整式方程、二次项系数不为0”。
①是整式方程，只含x，最高次2，二次项系数1≠0，是；
②含两个未知数x、a，不是；
③是分式方程，不是；
④是无理方程，不是；
⑤未明确a≠0，不是；
⑥是整式方程，只含y，最高次2，二次项系数1≠0，是；
⑦化简后为2x=-6，是一元一次方程，不是；
⑧未知数最高次3，是一元三次方程，不是。
综上，答案为①⑥

2. 一元二次方程$x^2 + 3x = 2$的二次项系数为1,一次项系数为3,常数项为-2.

答案： 解：将方程$x^2 + 3x = 2$化为一般形式为$x^2 + 3x - 2 = 0$。
二次项系数为$1$，一次项系数为$3$，常数项为$-2$。

3. 若关于$x的一元二次方程(m - 3)x^2 + m^2x = 9x + 5$化为一般形式后不含一次项,则$m$的值为-3.

答案： 解：将方程$(m - 3)x^2 + m^2x = 9x + 5$移项化为一般形式：
$(m - 3)x^2 + (m^2 - 9)x - 5 = 0$
因为方程是一元二次方程，所以二次项系数$m - 3 \neq 0$，即$m \neq 3$。
又因为方程不含一次项，所以一次项系数$m^2 - 9 = 0$，解得$m = \pm 3$。
结合$m \neq 3$，可得$m = -3$。
$-3$

4. 若$a是方程2x^2 = x + 4$的一个根,则代数式$4a^2 - 2a$的值是______8.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根的定义以及代数式的求值。
首先，由于$a$是方程$2x^2 = x + 4$的一个根，根据一元二次方程的定义，我们可以将$x$替换为$a$，得到：
$2a^2 = a + 4$，
进一步整理，我们可以得到：
$2a^2 - a = 4$，
接下来，我们需要求代数式$4a^2 - 2a$的值。
观察该代数式，我们可以发现它是$2a^2 - a$的两倍，即：
$4a^2 - 2a = 2(2a^2 - a)$，
将之前求得的$2a^2 - a = 4$代入上式，得到：
$4a^2 - 2a = 2 × 4 = 8$。
【答案】：
8

5. 若关于$x的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$有一个根为1,则$a + b + c = $0;若此方程满足$a - b + c = 0$,则方程必有一根为-1.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系。
首先，若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$有一个根为1，
我们可以将$x = 1$代入方程，得到：
$a× 1^2 + b× 1 + c = a + b + c = 0$
所以，$a + b + c = 0$。
其次，若此方程满足$a - b + c = 0$，
我们可以观察这个表达式，发现它与一元二次方程在$x = -1$时的取值形式相同，
即当$x = -1$时，有：
$a× (-1)^2 + b× (-1) + c = a - b + c = 0$
所以，方程必有一根为$x = -1$。
【答案】：
0；-1。

6.《九章算术》中记载：今有户不知高、广,竿不知长短.横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出.问：户高、广、袤各几何？
大意：今有门(矩形),不知其高、宽,有竿,不知其长短.横放,竿比门宽出四尺；竖放,竿比门高出二尺；斜放,竿与门的对角线恰好相等.问：门的高、宽、对角线的长分别是多少？

答案： 解：设门的对角线长为$x$尺，则门的宽为$(x - 4)$尺，高为$(x - 2)$尺。
根据勾股定理，得$(x - 4)^2 + (x - 2)^2 = x^2$。
展开并整理，得$x^2 - 12x + 20 = 0$。
解得$x_1 = 10$，$x_2 = 2$（不合题意，舍去）。
门的宽：$x - 4 = 10 - 4 = 6$（尺）。
门的高：$x - 2 = 10 - 2 = 8$（尺）。
答：门的高为8尺，宽为6尺，对角线的长为10尺。

7. 已知关于$x的方程(m + 2)x^{|m|} + 2x - 1 = 0$.
(1)当$m$为何值时,该方程是一元一次方程？
(2)当$m$为何值时,该方程是一元二次方程？

答案：
(1)
解：若方程为一元一次方程，分情况讨论：
情况一：$\left\{\begin{array}{l} |m|=1\\ m+2+2\neq 0\end{array}\right.$
由$|m|=1$得$m=\pm 1$，$m+2+2=m+4$，当$m=1$时，$1+4=5\neq 0$；当$m=-1$时，$-1+4=3\neq 0$，所以$m=\pm 1$。
情况二：$\left\{\begin{array}{l} |m|=0\\ m+2\neq 0\end{array}\right.$
由$|m|=0$得$m=0$，$0+2=2\neq 0$，所以$m=0$。
情况三：$\left\{\begin{array}{l} m+2=0\\ 2\neq 0\end{array}\right.$
由$m+2=0$得$m=-2$，$2\neq 0$成立，所以$m=-2$。
综上，$m=-2$或$m=0$或$m=\pm 1$。
(2)
解：若方程为一元二次方程，则$\left\{\begin{array}{l} |m|=2\\ m+2\neq 0\end{array}\right.$
由$|m|=2$得$m=\pm 2$，又$m+2\neq 0$，即$m\neq -2$，所以$m=2$。