《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 如图所示,$AB是\odot O$的直径,$C,D是\odot O$上的两点. 若$\angle BCD= 28^\circ$,则$\angle ABD= $62°.

答案： 解：连接AD。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°。
∵∠BCD=28°，
∴∠BAD=∠BCD=28°（同弧所对的圆周角相等）。
在Rt△ABD中，∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°。
62°

2. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 10$,以$AB为直径的\odot O与BC交于点D$,与$AC交于点E$,连接$OD交BE于点M$,且$MD= 2$,则$BE= $8.

答案： 【解析】：本题可先根据圆的性质和等腰三角形的性质得出相关线段和角的关系，再通过相似三角形的性质求出$BE$的长度。
连接$AD$，因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle AEB = \angle ADB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
又因为$AB = AC$，根据等腰三角形三线合一的性质可知$AD$垂直平分$BC$，即$BD = DC$，$AD\perp BC$。
由于$O$是$AB$的中点，$OD$是$\triangle ABC$的中位线，所以$OD// AC$（三角形中位线定理）。
已知$AB = 10$，则$OA = OB = 5$（圆的半径是直径的一半），又因为$MD = 2$，所以$OM = OD - MD = 5 - 2 = 3$。
因为$OD// AC$，所以$\triangle OMB\sim\triangle AEB$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得$\frac{OM}{AE}=\frac{OB}{AB}=\frac{1}{2}$（因为$O$是$AB$中点）。
已知$OM = 3$，则$AE = 2OM = 6$。
在$Rt\triangle AEB$中，$AB = 10$，$AE = 6$，根据勾股定理$BE = \sqrt{AB^{2} - AE^{2}}=\sqrt{10^{2} - 6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}= 8$。
【答案】：$8$

3. 如图所示,在$\odot O$中,弦$AB// CD$. 若$\angle ABC= 40^\circ$,则$\angle BOD= $80°.

答案： 解：
∵AB//CD，∠ABC=40°，
∴∠BCD=∠ABC=40°（两直线平行，内错角相等）。
∵∠BOD和∠BCD分别是$\odot O$中$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角和圆周角，
∴∠BOD=2∠BCD=2×40°=80°。
故答案为80°。

4. 如图所示,$\overset{\frown}{AB}$是半圆,$O为AB$的中点,$C,D两点在\overset{\frown}{AB}$上,且$AD// OC$,连接$BC,BD,OD$. 若$\angle CBD= 31^\circ$,则$\angle AOD= $$56^\circ$.

答案： 【解析】：本题主要考查了圆的有关性质，特别是圆周角定理，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
连接$CD$。
由于$\angle CBD = 31^\circ$，根据圆周角定理，$\angle COD$是$\angle CBD$的两倍，
所以$\angle COD = 2 × \angle CBD = 2 × 31^\circ = 62^\circ$。
由于$AD // OC$，
所以$\angle ADO=\angle COD=62^\circ$，
由于$O$是$AB$的中点，即圆心，所以$OA = OD$，
所以$\bigtriangleup AOD$为等腰三角形，
所以$\angle A = \angle ADO = 62^\circ$。
在$\bigtriangleup AOD$中，三个内角和为$180^\circ$，所以：
$\angle AOD = 180^\circ - \angle A - \angle ADO = 180^\circ - 62^\circ - 62^\circ = 56^\circ$。
【答案】：$56^\circ$。

5. 在半径为$4的\odot O$中,若弦$AB= 4\sqrt{3}$,点$P$在圆上,则$\angle APB= $$60^{\circ}$或$120^{\circ}$.

答案： 1. 首先，过圆心$O$作$OC\perp AB$于点$C$：
根据垂径定理，$AC = BC=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB = 4\sqrt{3}$，则$AC=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
又已知圆$O$半径$OA = 4$。
2. 然后，在$Rt\triangle AOC$中，求$\angle AOC$的度数：
根据正弦函数的定义$\sin\angle AOC=\frac{AC}{OA}$。
把$AC = 2\sqrt{3}$，$OA = 4$代入，得$\sin\angle AOC=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
所以$\angle AOC = 60^{\circ}$。
则$\angle AOB=2\angle AOC = 120^{\circ}$。
3. 最后，根据圆周角定理求$\angle APB$的度数：
当点$P$在优弧$\overset{\frown}{AB}$上时：
根据圆周角定理$\angle APB=\frac{1}{2}\angle AOB$。
所以$\angle APB = 60^{\circ}$。
当点$P$在劣弧$\overset{\frown}{AB}$上时：
此时$\angle APB = 180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AOB$。
把$\angle AOB = 120^{\circ}$代入，得$\angle APB = 120^{\circ}$。
故答案为$60^{\circ}$或$120^{\circ}$。

6. 如图所示,$AB$是半圆的直径,图①中,点$C$在半圆外,图②中,点$C$在半圆内. 请仅用无刻度的直尺按要求作图.(不必写出作图过程,但必须保留作图痕迹)
(1)在图①中,作出$\triangle ABC中AB$边上的高.
(2)在图②中,作出$\triangle ABC中AB$边上的高.

答案：

7. 如图所示,在$\odot O$中,直径$AB\perp弦CD于点M$,$E是\overset{\frown}{AD}$的中点,连接$AD,CE$,连接$AE并延长交CD的延长线于点F$.
(1)求证：$\angle AEC= 2\angle C$.
(2)当$AM= 4$,$CD= 6$时,求$AF$的长.

答案：
(1)证明：连接AC，设∠C=α。
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴弧AC=弧AD，∠CAD=2∠CAB=2α（垂径定理，圆周角定理）。
∵E是弧AD中点，
∴弧AE=弧ED，∠ACE=∠ECD=α/2。
在△AEC中，∠AEC=180°-∠CAD-∠ACE=180°-2α-α/2=180°-(5α/2)。
又∠ADC=∠C+∠CAD=3α，∠AEC=∠ADC（同弧AC所对圆周角），
∴∠AEC=3α=2∠C+α？？？（修正：∠AEC=∠ADC=∠C+∠CAD=α+2α=3α=2α+α，即∠AEC=2∠C+∠C=3α，而2∠C=2α，此处原逻辑有误，正确应为：
∵∠AEC是弧AC所对圆周角，∠C是弧AD所对圆周角，弧AC=弧AD，E为弧AD中点，弧AC=2弧AE，
∴∠AEC=弧AC/2=弧AD=2×弧AE/2=2∠C（圆周角定理：∠C=弧AE/2）。
综上，∠AEC=2∠C。
(2)解：设⊙O半径为r，则OM=r-4，
∵AB⊥CD，CD=6，
∴CM=MD=3。
在Rt△OMD中，OM²+MD²=OD²，即(r-4)²+3²=r²，
解得r=25/8。
∵AB=2r=25/4，BM=AB-AM=25/4-4=9/4。
∵AB⊥CD，
∴∠AMF=90°，易证△AMF∽△CMB（∠F=∠B，∠AMF=∠CMB=90°），
∴AM/CM=AF/CB，CB=√(CM²+BM²)=√(3²+(9/4)²)=15/4，
∴4/3=AF/(15/4)，AF=4/3×15/4=5。
（注：第
(1)问修正后逻辑：弧AC=弧AD=2弧AE，∠AEC=弧AC/2=弧AD=2弧AE，∠C=弧AE/2，故∠AEC=2∠C。第
(2)问通过勾股定理求半径，再用相似求AF=5。）
答案：
(1)见解析；
(2)AF=5。
（最终规范书写）
(1)证明：连接AC，
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴弧AC=弧AD（垂径定理）。
∵E是弧AD中点，
∴弧AD=2弧AE，即弧AC=2弧AE。
∵∠AEC是弧AC所对圆周角，∠C是弧AE所对圆周角，
∴∠AEC=弧AC/2=2弧AE/2=2∠C（圆周角定理）。
(2)解：设⊙O半径为r，则OM=r-4，
∵AB⊥CD，CD=6，
∴MD=3。
在Rt△OMD中，(r-4)²+3²=r²，解得r=25/8。
∴AB=25/4，BM=AB-AM=9/4。
∵∠F=∠B，∠AMF=∠CMB=90°，
∴△AMF∽△CMB，
∴AM/CM=AF/CB，CB=√(3²+(9/4)²)=15/4，
∴4/3=AF/(15/4)，AF=5。
答案：
(1)证明成立；
(2)AF=5。