《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

21. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle BAC= \alpha(0^{\circ}＜\alpha＜60^{\circ})$,将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.

(1)如图①所示,直接写出$\angle ABD$的大小(用含$\alpha$的式子表示).
(2)如图②所示,$\angle BCE= 150^{\circ}$,$\angle ABE= 60^{\circ}$,判断$\triangle ABE$的形状并说明理由.
(3)如图③所示,在(2)的条件下,连接DE,写出DE,CE和BC之间的等量关系,并说明理由.

答案： 1. （1）
因为$AB = AC$，$\angle BAC=\alpha$，根据三角形内角和定理$\angle ABC=\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$。
又因为$\angle DBC = 60^{\circ}$，所以$\angle ABD=\angle ABC-\angle DBC=(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2})-60^{\circ}=30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$。
2. （2）
解：$\triangle ABE$是等边三角形。
连接$AD$，$CD$。
因为线段$BC$绕点$B$逆时针旋转$60^{\circ}$得到线段$BD$，所以$BD = BC$，$\angle DBC = 60^{\circ}$，则$\triangle BCD$是等边三角形，所以$BD = CD$，$\angle BDC=\angle BCD = 60^{\circ}$。
因为$AB = AC$，$BD = CD$，$AD = AD$，所以$\triangle ABD\cong\triangle ACD(SSS)$，所以$\angle BAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{\alpha}{2}$，$\angle ABD=\angle ACD = 30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$。
因为$\angle BCE = 150^{\circ}$，所以$\angle ECD=\angle BCE-\angle BCD=150^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$，$\angle ACD = 30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$，$\angle BAC=\alpha$，$\angle ABE = 60^{\circ}$。
在四边形$ABEC$中，$\angle BAC+\angle ABE+\angle BCE+\angle ACE = 360^{\circ}$，$\angle ACE=\angle ACB+\angle ECD=(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}) + 90^{\circ}=180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$。
代入$\alpha+60^{\circ}+150^{\circ}+(180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}) = 360^{\circ}$（也可通过另一种方法：
因为$\angle ABD = 30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$，$\angle ABE = 60^{\circ}$，所以$\angle DBE=\angle ABE-\angle ABD=60^{\circ}-(30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}) = 30^{\circ}+\frac{\alpha}{2}$，$\angle BAE=\angle BAD+\angle DAE$，又因为$\triangle ABD\cong\triangle ACD$，$\angle BDC = 60^{\circ}$，$\angle BAC=\alpha$，$\angle ABE = 60^{\circ}$。
因为$\angle ABD+\angle BAD=\angle ADB$，$\triangle ABD\cong\triangle ACD$，$\angle CBD = 60^{\circ}$，$AB = AC$，$BD = BC$。
又因为$\angle ABE=\angle DBC = 60^{\circ}$，所以$\angle ABE-\angle DBE=\angle DBC-\angle DBE$，即$\angle ABD=\angle EBC$。
由$AB = AC$，$BD = BC$，$\angle BAD=\angle CAD$，$\angle BCD = 60^{\circ}$，$\angle BCE = 150^{\circ}$。
因为$\angle BAE+\angle ABE+\angle AEB = 180^{\circ}$，且$\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$，$\angle ABC = 90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$，$\angle ABD = 30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$，$\angle ABE = 60^{\circ}$。
可证$\triangle ABD\cong\triangle EBC(ASA)$（$\angle ABD=\angle EBC$，$BD = BC$，$\angle ADB=\angle ECB = 120^{\circ}$（$\angle ADB = 180^{\circ}-\angle ABD-\angle BAD$，$\angle BAD=\frac{\alpha}{2}$，$\angle ABD = 30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$，$\angle ADB = 120^{\circ}$，$\angle ECB=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$），所以$AB = BE$。
又因为$\angle ABE = 60^{\circ}$，所以$\triangle ABE$是等边三角形。
3. （3）
 $DE^{2}=CE^{2}+BC^{2}$,理由:
连接CD,AD
∵∠BCD=60°,∠BCE=150°
∴∠DCE=150°-60°=90°
$∴在Rt△DCE中,DE^{2}=CE^{2}+DC^{2}$
由$(2)知BC=DC,∴DE^{2}=CE^{2}+BC^{2}$