《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

18. 【综合与实践】
根据以下材料,探索并完成任务。
材料1：图①是某款冷柜,耗电功率为0.15 kW。当内部温度为$-4^\circ C$时,冷柜开始运行；当温度下降到$-20^\circ C$时,冷柜停止运行；当温度上升到$-4^\circ C$时,冷柜再次运行。如此循环。
材料2：冷柜内部温度$y(^\circ C)与时间x(\min)$的函数关系如图②所示。当$0 \leq x \leq 4$时,$y是x$的一次函数；当$4 \leq x \leq t$时,$y是x$的反比例函数。
注：冷柜每天耗电量(kW·h)= 耗电功率(kW)×每天运行时间(h)。

【完成任务】
(1)求$4 \leq x \leq t$时,$y关于x$的函数解析式。
(2)求该冷柜一天的耗电量。

答案：
(1)设当$4 \leq x \leq t$时，$y$关于$x$的函数解析式为$y = \frac{k}{x}$。
因为函数图像过点$(4, -20)$，所以将$x = 4$，$y = -20$代入$y = \frac{k}{x}$，得$-20 = \frac{k}{4}$，解得$k = -80$。
所以$4 \leq x \leq t$时，$y$关于$x$的函数解析式为$y = -\frac{80}{x}$。
(2)当$y = -4$时，代入$y = -\frac{80}{x}$，得$-4 = -\frac{80}{x}$，解得$x = 20$，即$t = 20$。
一个循环周期为$20$分钟，其中运行时间为$4$分钟。
一天有$24 × 60 = 1440$分钟，循环次数为$1440 ÷ 20 = 72$次。
每天运行时间为$72 × 4 = 288$分钟，$288$分钟$= 288 ÷ 60 = 4.8$小时。
耗电量为$0.15 × 4.8 = 0.72$kW·h。
答：
(1)函数解析式为$y = -\frac{80}{x}$；
(2)一天耗电量为$0.72$kW·h。

19. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$D是BC$边上的点,$E是AD$上一点,且$\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{CE}$,$\angle BAD = \angle ECA$。
(1)求证：$AC^2 = BC \cdot CD$。
(2)若$AD是\triangle ABC$的中线,求$\frac{CE}{AC}$的值。

答案： 1. （1）证明：
因为$\angle BAD=\angle ECA$，$\angle B=\angle B$（公共角），
根据三角形相似的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似），可得$\triangle ABD\sim\triangle CBA$。
由相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，所以$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$，即$AB^{2}=BC\cdot BD$。
又因为$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{CE}$，$\angle BAD = \angle ECA$，根据三角形相似的判定定理（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），可得$\triangle ABD\sim\triangle CAE$。
则$\angle B=\angle CAE$。
因为$\angle ACB=\angle DCA$（公共角），所以$\triangle ABC\sim\triangle DAC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质$\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{AC}$，即$AC^{2}=BC\cdot CD$。
2. （2）解：
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，所以$BD = CD$。
设$BD = CD=x$，则$BC = 2x$。
由（1）知$AC^{2}=BC\cdot CD$，把$BC = 2x$，$CD=x$代入$AC^{2}=BC\cdot CD$，得$AC^{2}=2x\cdot x=2x^{2}$，所以$AC=\sqrt{2}x$。
因为$\triangle ABD\sim\triangle CAE$，所以$\frac{CE}{AC}=\frac{BD}{AB}$。
又因为$\triangle ABC\sim\triangle DAC$，$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{AC}$（由$\triangle ABC\sim\triangle DAC$得$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{AC}$，这里$BC = 2CD$，$AC^{2}=BC\cdot CD$），且$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{CE}$。
由$AC^{2}=BC\cdot CD$，$BC = 2CD$，$\triangle ABD\sim\triangle CAE$，$\triangle ABC\sim\triangle DAC$。
因为$\frac{CE}{AC}=\frac{CD}{AC}$（由$\triangle ABD\sim\triangle CAE$和$\triangle ABC\sim\triangle DAC$推导），又$AC^{2}=2CD^{2}$（$BC = 2CD$，$AC^{2}=BC\cdot CD$），即$AC=\sqrt{2}CD$。
所以$\frac{CE}{AC}=\frac{CD}{AC}$，把$AC=\sqrt{2}CD$代入得$\frac{CE}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
综上，（1）证明见上述过程；（2）$\frac{CE}{AC}$的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。