《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 某汽车的油箱容积是 45 L,加满油后可行驶 $ y $ km,设该汽车每行驶 100 km 耗油 $ x $ L,则 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式为$y = \frac{4500}{x}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查反比例函数在实际问题中的应用。
首先，根据题意，汽车每行驶$100 km$耗油$x L$，那么行驶$1 km$就会耗油$\frac{x}{100} L$。
设汽车加满油后可以行驶$y km$，那么汽车行驶$y km$所消耗的油量应为$y × \frac{x}{100} L$。
根据题意，油箱的容积是$45 L$，即汽车行驶$y km$所消耗的油量等于油箱的容积，所以有等式：
$y × \frac{x}{100} = 45$，
解这个等式，得到：
$y = \frac{4500}{x}$。
所以，$y$关于$x$的函数解析式为$y = \frac{4500}{x}$。
【答案】：
$y = \frac{4500}{x}$

2. 若一个菱形的面积为 $ 12 \, cm^2 $,对角线长分别为 $ x(cm) $ 和 $ y(cm) $,则 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式为$y = \frac{24}{x}(x ＞ 0)$.

答案： 解：因为菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，已知面积为 $12 \, cm^2$，所以$\frac{1}{2}xy = 12$，化简得$xy = 24$，则$y = \frac{24}{x}$（$x ＞ 0$）。
$y = \frac{24}{x}(x ＞ 0)$

3. 近视眼镜的度数 $ y $(单位：度)与镜片焦距 $ x $(单位：m)成反比例关系. 若 400 度近视眼镜镜片的焦距为 $ 0.25 \, m $,则眼镜度数 $ y $ 关于镜片焦距 $ x $ 的函数解析式是$y = \frac{100}{x}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察反比例函数在实际问题中的应用。
首先，根据题目描述，近视眼镜的度数$y$与镜片焦距$x$成反比例关系。
设反比例函数的解析式为 $y = \frac{k}{x}$（其中$k \neq 0$）。
接下来，利用题目给出的具体数据点（400度，0.25m）来求解$k$。
将$y = 400$和$x = 0.25$代入解析式，得到：
$400 = \frac{k}{0.25}$，
解这个方程，可以得到：
$k = 400 × 0.25 = 100$。
因此，眼镜度数$y$关于镜片焦距$x$的函数解析式是 $y = \frac{100}{x}$。
【答案】：
$y = \frac{100}{x}$

4. 如图所示,某小组准备用材料围建一个面积为 $ 60 \, m^2 $ 的矩形 $ ABCD $,其中的一边 $ AB $ 靠墙,墙长为 $ 12 \, m $. 设 $ AD $ 的长为 $ x \, m $,$ DC $ 的长为 $ y \, m $.
(1)求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式.
(2)若矩形 $ ABCD $ 的边长 $ CD $ 与 $ AD $ 之比为 $ 2:1 $,求出 $ CD $ 与 $ AD $ 的长.

答案：
(1)解：因为矩形$ABCD$的面积为$60m^2$，$AD=xm$，$DC=ym$，所以$xy=60$，即$y=\dfrac{60}{x}$。又因为$AB=CD=y$，墙长$12m$，所以$y\leqslant12$，即$\dfrac{60}{x}\leqslant12$，解得$x\geqslant5$，故$y$关于$x$的函数解析式为$y=\dfrac{60}{x}(x\geqslant5)$。
(2)解：因为$CD$与$AD$之比为$2:1$，所以$y:x=2:1$，即$y=2x$。由
(1)知$xy=60$，将$y=2x$代入得$x\cdot2x=60$，$2x^2=60$，$x^2=30$，解得$x=\sqrt{30}$（$x=-\sqrt{30}$舍去），则$y=2\sqrt{30}$。因为$y=2\sqrt{30}\approx10.95\lt12$，符合题意，所以$CD=2\sqrt{30}m$，$AD=\sqrt{30}m$。

5. 某药品研究所研发了一种抗击流感病毒的新药,经大量动物实验,首次用于临床人体实验,测得成人服用该药后血液中的药物浓度 $ y(\mug/mL) $ 与服药后时间 $ x(h) $ 之间的函数关系如图所示. 当血液中药物浓度上升($ 0 \leq x \leq a $)时,满足 $ y= 2x $,下降时,$ y $ 与 $ x $ 成反比.
(1)直接写出 $ a $ 的取值,并求当 $ a \leq x \leq 8 $ 时,$ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式.
(2)若血液中药物浓度不低于 $ 3 \, \mug/mL $ 的持续时间超过 $ 4 \, h $,则称药物治疗有效. 请问研发的这种新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？

答案： 【解析】：
本题主要考查了反比例函数的应用以及待定系数法求反比例函数解析式。
（1）首先，由题目给出的图像，可知当$x=a$时，$y=2a$达到最大值6，即$2a=6$，
解得$a=3$，
当$a\leq x\leq8$时，$y$与$x$成反比，
设$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$），
将点（3，6）代入得$6=\frac{k}{3}$，
解得$k=18$，
所以，当$a\leq x\leq8$时，$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{18}{x}$。
（2）需要找出血液中药物浓度不低于$3\mu g/mL$的持续时间。
当$0\leq x\leq3$时，令$y=2x=3$，
解得$x=1.5$，
当$3\leq x\leq8$时，令$y=\frac{18}{x}=3$，
解得$x=6$，
因为$6-1.5=4.5＞4$，
所以，血液中药物浓度不低于$3\mu g/mL$的持续时间为4.5小时，超过4小时，
因此，这种新药可以作为有效药物投入生产。
【答案】：
(1)$a=3$；$y=\frac{18}{x}$
(2)可以；理由如解析所示