《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$ 能用公式法求解,则必须满足的条件是$b^2 - 4ac \geq 0$.

答案： 【解析】：
题目考查了一元二次方程的公式法求解条件。一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a \neq 0$。公式法求解一元二次方程需要用到判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。为了保证方程有实数解，判别式需要满足$\Delta \geq 0$。同时，题目已经明确给出了$a \neq 0$的条件，因此，还需要满足$b$和$c$为任意实数，但在此情境下，主要关注的是判别式的条件。
【答案】：
$b^2 - 4ac \geq 0$

2. 不解方程,判断方程 $2x^2 - 4x + 3 = 0$ 的根的情况：没有实数根.

答案： 【解析】：
本题要求不解方程判断一元二次方程的根的情况，可以通过判别式$b^2 - 4ac$来判断。对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。
对于方程$2x^2 - 4x + 3 = 0$，有$a = 2, b = -4, c = 3$，代入判别式得：
$\Delta = (-4)^2 - 4 × 2 × 3 = 16 - 24 = -8$
由于$\Delta ＜ 0$，所以方程$2x^2 - 4x + 3 = 0$没有实数根。
【答案】：
没有实数根

3. 若关于 $x$ 的方程 $x^2 + 3x + k - 1 = 0$ 有两个相等的实数根,则 $k$ 的值为$\frac{13}{4}$.

答案： 【解析】：
题目考查了一元二次方程的判别式知识点。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根。
在本题中，方程为 $x^2 + 3x + k - 1 = 0$，其中 $a = 1, b = 3, c = k - 1$。
根据题意，方程有两个相等的实数根，所以 $\Delta = 0$。
代入 $a, b, c$ 的值，得到：
$\Delta = 3^2 - 4 × 1 × (k - 1) = 0$
即$9 - 4k + 4 = 0$
从上式可以解出 $k$ 的值。
【答案】：
解：
∵$\Delta = 0$，
∴$3^2 - 4 × 1 × (k - 1) = 0$
$9 - 4k + 4 = 0$
$-4k = -13$
$k = \frac{13}{4}$
故答案为：$k = \frac{13}{4}$。

4. 若要使关于 $x$ 的一元二次方程 $2x^2 - 4x + c = 0$ 有实数根,则 $c$ 的取值范围是$c \leq 2$.

答案： 解：对于一元二次方程$2x^2 - 4x + c = 0$，其中$a=2$，$b=-4$，$c$为待求常数。
因为方程有实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$。
即$(-4)^2 - 4×2× c \geq 0$
$16 - 8c \geq 0$
$-8c \geq -16$
$c \leq 2$
故$c$的取值范围是$c \leq 2$。

5. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 2)x^2 + 2x - 1 = 0$ 有两个实数根,则 $a$ 的取值范围是$a \geq 1$且$a \neq 2$.

答案： 解：
∵方程是一元二次方程，
∴二次项系数不为0，即$a - 2 \neq 0$，解得$a \neq 2$。
∵方程有两个实数根，
∴判别式$\Delta \geq 0$。
$\Delta = 2^2 - 4(a - 2)(-1) = 4 + 4(a - 2) = 4a - 4$。
$4a - 4 \geq 0$，解得$a \geq 1$。
综上，$a$的取值范围是$a \geq 1$且$a \neq 2$。
答案：$a \geq 1$且$a \neq 2$

6. 若关于 $x$ 的方程 $kx^2 - x - \frac{3}{4} = 0$ 有实数根,则实数 $k$ 的取值范围是$k \geq -\frac{1}{3}$.

答案： 解：当$k = 0$时，方程为$-x - \frac{3}{4} = 0$，是一元一次方程，有实数根$x = -\frac{3}{4}$。
当$k \neq 0$时，方程为一元二次方程，其判别式$\Delta = (-1)^2 - 4k × (-\frac{3}{4}) = 1 + 3k$。
因为方程有实数根，所以$\Delta \geq 0$，即$1 + 3k \geq 0$，解得$k \geq -\frac{1}{3}$。
综上，$k$的取值范围是$k \geq -\frac{1}{3}$。
$k \geq -\frac{1}{3}$

7. $T = (a + 3b)^2 + (2a + 3b) \cdot (2a - 3b) + a^2$.
(1) 化简 $T$.
(2) 若关于 $x$ 的方程 $x^2 + 2ax - ab + 1 = 0$ 有两个相等的实数根,求 $T$ 的值.

答案：
(1) 解：$\begin{aligned}T&=(a + 3b)^2 + (2a + 3b)(2a - 3b) + a^2\\&=a^2 + 6ab + 9b^2 + (4a^2 - 9b^2) + a^2\\&=a^2 + 6ab + 9b^2 + 4a^2 - 9b^2 + a^2\\&=6a^2 + 6ab\end{aligned}$
(2) 解：因为方程 $x^2 + 2ax - ab + 1 = 0$ 有两个相等的实数根，所以判别式 $\Delta = (2a)^2 - 4 × 1 × (-ab + 1) = 0$，即：$\begin{aligned}4a^2 + 4ab - 4 &= 0\\a^2 + ab - 1 &= 0\\a^2 + ab &= 1\end{aligned}$
由
(1)知 $T = 6a^2 + 6ab = 6(a^2 + ab) = 6 × 1 = 6$。
综上，
(1)化简结果为 $6a^2 + 6ab$；
(2) $T$ 的值为 $6$。

8. 已知关于 $x$ 的方程 $x^2 - (2k + 1)x + 4\left(k - \frac{1}{2}\right) = 0$.
(1) 求证：无论 $k$ 取何值,这个方程总有实数根.
(2) 若等腰三角形 $ABC$ 的一边长 $a$ 为 4,另两边长 $b$,$c$ 恰好是这个方程的两个根,求 $\triangle ABC$ 的周长.

答案： 【解析】：
(1)证明方程总有实数根，我们需要考虑其判别式$\Delta$。对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。将给定的方程系数代入，我们得到$\Delta = (2k + 1)^2 - 4 × 1 × 4(k - \frac{1}{2})$。通过计算，我们可以证明$\Delta \geq 0$，从而证明方程总有实数根。
(2)对于等腰三角形的两边长$b$和$c$是方程的两个根，我们需要分两种情况考虑：一是$b = c$，此时方程有两个相等的实数根；二是$b$或$c$中有一个与$a$相等，即4，此时方程有一个根为4。对于第一种情况，我们可以通过令判别式$\Delta = 0$来求解$k$的值，进而求出三角形的周长。对于第二种情况，我们将$x = 4$代入原方程求解$k$，然后利用求得的$k$值计算另一根，最后求出三角形的周长。
【答案】：
(1)证明：
$\Delta = (2k + 1)^2 - 4 × 1 × 4(k - \frac{1}{2})$
$= 4k^2 + 4k + 1 - 16k + 8$
$= 4k^2 - 12k + 9$
$= (2k - 3)^2$
由于$(2k - 3)^2 \geq 0$，所以无论$k$取何值，方程总有实数根。
(2)当$b = c$时，方程有两个相等的实数根，即$\Delta = 0$，解得$k = \frac{3}{2}$。代入原方程得$x^2 - 4x + 4 = 0$，解得$x_1 = x_2 = 2$。由于$2 + 2 = 4$，不满足三角形三边关系，因此舍去。
当$b$或$c$中有一个为4时，代入$x = 4$到原方程，得$16 - 4(2k + 1) + 4(k - \frac{1}{2}) = 0$，解得$k = \frac{5}{2}$。代入$k = \frac{5}{2}$到原方程，得$x^2 - 6x + 8 = 0$，解得$x_1 = 4, x_2 = 2$。因此，三角形的三边长为$4, 4, 2$，周长为$4 + 4 + 2 = 10$。
综上，$\triangle ABC$的周长为10。