《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 根据右图填空.
(1)若O是正三角形ABC的中心,它是正三角形ABC的外接圆与内切圆的圆心.
(2)OB叫正三角形ABC的半径,它是正三角形ABC的外接圆的半径.
(3)OD叫正三角形ABC的边心距,它是正三角形ABC的内切圆的半径.
(4)∠BOC是正三角形ABC的中心角,∠BOC=120°；∠BOD=60°.

答案：
(1)中心；外接；内切
(2)半径；外接
(3)边心距；内切
(4)中心；120°；60°

2. 若正多边形的一个外角为60°,则这个正多边形的中心角的大小是60°.

答案： 解：因为任意多边形的外角和为360°，正多边形的每个外角都相等，已知一个外角为60°，所以该正多边形的边数为360°÷60°=6。
又因为正n边形的中心角为360°÷n，所以这个正六边形的中心角为360°÷6=60°。
60°

3. 有一个边长为4的正方形,若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正方形,则这张圆形纸片的半径最小是$2\sqrt{2}$.

答案： 解：要使圆形纸片完全盖住正方形，该圆需为正方形的外接圆。
正方形边长为4，其对角线长为$\sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$。
外接圆半径为对角线长的一半，即$\frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$。
答案：$2\sqrt{2}$

|正多边形边数|内角|中心角|半径|边长|边心距|周长|面积|
|----|----|----|----|----|----|----|----|
|3|60°|120°|$2\sqrt{3}$|6|$\sqrt{3}$|18|$9\sqrt{3}$|
|4|90°|90°|$\sqrt{2}$|2|1|8|4|
|6|120°|60°|2|2|$\sqrt{3}$|12|$6\sqrt{3}$|

答案： 【解析】：本题主要考查正多边形的性质以及与外接圆的关系，需要根据正多边形的边数，结合相关公式分别计算出中心角、内角、边长、周长和面积等。
正$n$边形的中心角公式为$\frac{360^{\circ}}{n}$。
正$n$边形的内角公式为$\frac{(n - 2)×180^{\circ}}{n}$。
对于正三角形，可利用三角函数等知识求出边长、边心距与半径的关系；对于正方形，根据其性质和勾股定理等求出相关量；对于正六边形，同样利用三角函数等知识进行计算。
当正多边形边数为$3$时：
中心角：根据中心角公式$\frac{360^{\circ}}{n}$，可得中心角为$\frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ}$。
边长：设正三角形的中心为$O$，半径为$R = 2\sqrt{3}$，边心距为$r$，由正三角形的性质可知，边长的一半、边心距与半径构成直角三角形，其中半径为斜边。已知半径$R = 2\sqrt{3}$，边心距$r=\frac{R}{2}=\sqrt{3}$（正三角形边心距是半径的一半），根据勾股定理可求出边长的一半为$\sqrt{R^{2}-r^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}} = 3$，所以边长为$6$。
周长：正三角形周长为边长乘以$3$，即$6×3 = 18$。
面积：可将正三角形分割为三个全等的三角形，每个三角形的面积为$\frac{1}{2}×$边长$×$边心距，所以正三角形面积为$3×\frac{1}{2}×6×\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。
当正多边形边数为$4$时：
内角：根据内角公式$\frac{(n - 2)×180^{\circ}}{n}$，可得内角为$\frac{(4 - 2)×180^{\circ}}{4}=90^{\circ}$。
中心角：根据中心角公式$\frac{360^{\circ}}{n}$，可得中心角为$\frac{360^{\circ}}{4}=90^{\circ}$。
半径：设正方形的边长为$a = 2$（因为边心距为$1$，根据正方形性质可知边长是边心距的$2$倍），由正方形的对角线是外接圆的直径，根据勾股定理可得半径$R=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$（这里边心距与边长一半构成直角三角形，斜边为半径）。
周长：正方形周长为边长乘以$4$，即$2×4 = 8$。
面积：正方形面积为边长的平方，即$2×2 = 4$。
当正多边形边数为$6$时：
内角：根据内角公式$\frac{(n - 2)×180^{\circ}}{n}$，可得内角为$\frac{(6 - 2)×180^{\circ}}{6}=120^{\circ}$。
中心角：根据中心角公式$\frac{360^{\circ}}{n}$，可得中心角为$\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}$。
半径：设正六边形的边长为$a$，边心距为$r=\sqrt{3}$，由正六边形的性质可知，半径等于边长，再根据三角函数关系可求出边长$a = 2$（在由边心距、边长一半与半径构成的直角三角形中，$\tan30^{\circ}=\frac{r}{a/2}$，代入$r=\sqrt{3}$可求出$a = 2$），所以半径$R = 2$。
周长：正六边形周长为边长乘以$6$，即$2×6 = 12$。
面积：可将正六边形分割为六个全等的三角形，每个三角形的面积为$\frac{1}{2}×$边长$×$边心距，所以正六边形面积为$6×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】：
|正多边形边数|内角|中心角|半径|边长|边心距|周长|面积|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 3 | $60^{\circ}$ | $120^{\circ}$ | $2\sqrt{3}$ | $6$ | $\sqrt{3}$ | $18$ | $9\sqrt{3}$ |
| 4 | $90^{\circ}$ | $90^{\circ}$ | $\sqrt{2}$ | $2$ | $1$ | $8$ | $4$ |
| 6 | $120^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $2$ | $2$ | $\sqrt{3}$ | $12$ | $6\sqrt{3}$ |

5. 如图①所示,正五边形ABCDE内接于⊙O,阅读以下作图过程,回答下列问题.
作法如图②所示：(1)作直径AF；(2)以F为圆心,FO为半径作圆弧,与⊙O交于点M,N；(3)连接AM,MN,NA.
(1)求∠ABC的大小.
(2)△AMN是正三角形吗？请说明理由.
(3)从点A开始,以DN的长为半径,在⊙O上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n边形,求n的值.

答案：
(1)解：
∵ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=(5-2)×180°/5=108°。
(2)证明：设⊙O半径为r，连接OM,ON,OF。
∵AF是直径，
∴OF=r，F为圆心，FO为半径，
∴FM=FN=FO=r，OM=ON=r，
∴△OMF,△ONF均为等边三角形，
∴∠MOF=∠NOF=60°，
∴∠MON=120°，
∴弧MN度数为120°，
∵A在圆上，∠MAN=1/2∠MON=60°，
又
∵AM=AN（等弧对等弦），
∴△AMN是正三角形。
(3)解：连接OD,ON。
由
(2)知∠NOF=60°，正五边形中心角∠COD=360°/5=72°，
∵AF是直径，
∴∠COF=∠DOF=1/2∠COD=36°，
∴∠DON=∠DOF+∠NOF=36°+60°=96°，
∴DN弧度数为96°，
n=360°/96°=3.75（此处原解析有误，修正如下）
（正确解法）连接OD,ON，设半径为r，
由正五边形中心角∠AOB=72°，AF为直径，
∠AOD=3×72°=216°，∠AOF=180°，
∴∠DOF=∠AOD-∠AOF=36°，
∠NOF=60°，
∴∠DON=60°-36°=24°，
n=360°/24°=15。
答：n=15。