《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

15. 如图所示,在6×6的正方形网格中,点$A$,$B$,$C$均在格点上,请仅用无刻度的直尺完成以下作图。(保留作图痕迹)
(1)在图①中画一个$\triangle ADE$,使得$\triangle ADE \sim \triangle ACB$,且相似比为1:2。
(2)在图②中以$AB为直径的半圆上找一点P$,画出$\angle ABP$,使得$\angle ABP = 22.5^\circ$。

答案：

16. 如图所示,不等臂跷跷板$AB的一端A$碰到地面时,另一端$B$到地面的高度为60 cm；当$AB的一端B$碰到地面时,另一端$A$到地面的高度为90 cm。求跷跷板$AB的支撑点O到地面的距离OH$。

答案： 【解析】：本题可根据相似三角形的性质列出关于$OH$的方程，进而求解$OH$的长度。
设$OH = h$，$OA = a$，$OB = b$。
当一端$A$碰到地面时，另一端$B$到地面的高度为$60cm$，此时可构成相似三角形，根据相似三角形对应边成比例的性质列出方程；当一端$B$碰到地面时，另一端$A$到地面的高度为$90cm$，同样可构成相似三角形，再列出另一个方程。联立这两个方程求解$h$。
【答案】：解：设$OH = h$，$OA = a$，$OB = b$。
当$A$端碰到地面时，由相似三角形的性质可得$\frac{h}{60}=\frac{a}{a + b}$ ①；
当$B$端碰到地面时，同理可得$\frac{h}{90}=\frac{b}{a + b}$ ②；
①+②得：$\frac{h}{60}+\frac{h}{90}=\frac{a}{a + b}+\frac{b}{a + b}=1$。
通分可得：$\frac{3h}{180}+\frac{2h}{180}=1$，即$\frac{5h}{180}=1$。
解得$h = 36$。
所以跷跷板$AB$的支撑点$O$到地面的距离$OH$为$36cm$。

17. 如图所示,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y = kx + b(k \neq 0)与双曲线y = \frac{6}{x}相交于点A(m,6)和点B(-3,n)$,直线$AB与y轴交于点C$。
(1)求直线$AB$的函数解析式。
(2)求$\frac{AC}{CB}$的值。

答案：
(1)解：
∵点A(m,6)在双曲线$y=\frac{6}{x}$上，
∴$6=\frac{6}{m}$，解得$m=1$，
∴A(1,6)。
∵点B(-3,n)在双曲线$y=\frac{6}{x}$上，
∴$n=\frac{6}{-3}=-2$，
∴B(-3,-2)。
将A(1,6)，B(-3,-2)代入$y=kx+b$，
得$\begin{cases}k+b=6\\-3k+b=-2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=2\\b=4\end{cases}$，
∴直线AB的函数解析式为$y=2x+4$。
(2)解：在$y=2x+4$中，令$x=0$，得$y=4$，
∴C(0,4)。
过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，
则AD=1，BE=3，∠ADC=∠BEC=90°。
∵∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴$\frac{AC}{CB}=\frac{AD}{BE}=\frac{1}{3}$。