《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 把一个三角形变成和它相似的三角形。
(1)如果边长扩大为原来的$5$倍,那么面积扩大为原来的25倍；
(2)如果面积扩大为原来的$100$倍,那么边长扩大为原来的10倍。

答案： 【解析】：
本题主要考查相似三角形的性质，特别是边长与面积之间的比例关系。
(1) 对于第一个问题，如果三角形的边长扩大为原来的5倍，我们需要找出面积扩大为原来的多少倍。
根据相似三角形的性质，如果两个相似三角形的边长比为$k$，那么它们的面积比为$k^2$。
因此，如果边长扩大为原来的5倍，面积将扩大为原来的$5^2 = 25$倍。
(2) 对于第二个问题，如果三角形的面积扩大为原来的100倍，我们需要找出边长扩大为原来的多少倍。
同样根据相似三角形的性质，如果两个相似三角形的面积比为$k^2$，那么它们的边长比为$k$。
因此，如果面积扩大为原来的100倍，即面积比为100，那么边长比将为$\sqrt{100} = 10$，即边长扩大为原来的10倍。
【答案】：
(1) 25
(2) 10

2. 若把两条直角边分别为$2,3的直角三角形按照相似比为1:4$进行放大,则得到的新直角三角形的面积为48。

答案： 【解析】：
本题主要考查相似三角形的性质，特别是相似比与面积比的关系。
首先，由题目给出的原始直角三角形的两条直角边分别为$2$和$3$，可以使用直角三角形的面积公式$\frac{1}{2} × 底 × 高$来计算原始三角形的面积，即$\frac{1}{2} × 2 × 3 = 3$。
然后，题目告诉我们三角形按照$1:4$的相似比进行了放大。根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，即新三角形的面积是原三角形面积的$4^2 = 16$倍。
最后，我们就可以计算出新三角形的面积，即$3 × 16 = 48$。
【答案】：
$48$

3. 如图所示,等边三角形$ABC的边长为3$,$P为BC$上一点,且$BP= 1$,$D为AC$上一点。若$\angle APD= 60^\circ$,则$CD$的长为______$\frac{2}{3}$。

答案： 【解析】：本题主要考查相似三角形的判定与性质，通过证明两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例来求解$CD$的长。
步骤一：证明$\triangle ABP$与$\triangle PCD$相似
已知$\triangle ABC$是等边三角形，则$\angle B = \angle C = 60^{\circ}$。
因为$\angle APD = 60^{\circ}$，且$\angle APC = \angle B + \angle BAP$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），即$\angle APD + \angle DPC = \angle B + \angle BAP$。
又因为$\angle B = \angle APD = 60^{\circ}$，所以$\angle BAP = \angle DPC$。
在$\triangle ABP$和$\triangle PCD$中，$\angle B = \angle C$，$\angle BAP = \angle DPC$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ABP\sim\triangle PCD$。
步骤二：根据相似三角形的性质列比例式
由相似三角形的性质可知，相似三角形对应边成比例。
因为$\triangle ABP\sim\triangle PCD$，所以$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$。
步骤三：计算$PC$的长度
已知等边三角形$ABC$的边长为$3$，即$BC = 3$，又因为$BP = 1$，所以$PC = BC - BP = 3 - 1 = 2$。
步骤四：代入数据求解$CD$的长
将$AB = 3$，$PC = 2$，$BP = 1$代入$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$中，得到$\frac{3}{2}=\frac{1}{CD}$。
交叉相乘可得$3CD = 2×1$，即$3CD = 2$，解得$CD = \frac{2}{3}$。
【答案】：$\frac{2}{3}$

4. 如图所示,已知四边形$ABCD的两条对角线相交于点P$,$\angle ADB= \angle BCA$。
(1)求证：$\triangle DCP\backsim\triangle ABP$。
(2)若$S_{\triangle DCP}:S_{\triangle ABP}= 4:9$,$CD= 4$,求$AB$的长。

答案： 1. （1）证明：
因为$\angle ADB=\angle BCA$，$\angle DPC = \angle BPA$（对顶角相等）。
根据两角分别相等的两个三角形相似，在$\triangle DCP$和$\triangle ABP$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle DPC=\angle BPA\\\angle ADB = \angle BCA\end{array}\right.$。
所以$\triangle DCP\backsim\triangle ABP$。
2. （2）解：
因为$\triangle DCP\backsim\triangle ABP$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，设相似比为$k$，则$k^{2}=\frac{S_{\triangle DCP}}{S_{\triangle ABP}}$。
已知$S_{\triangle DCP}:S_{\triangle ABP}=4:9$，所以$k^{2}=\frac{4}{9}$，则$k = \frac{2}{3}$（相似比$k\gt0$）。
又因为相似三角形对应边成比例，即$k=\frac{CD}{AB}$，已知$CD = 4$。
由$\frac{CD}{AB}=\frac{2}{3}$，可得$AB=\frac{3× CD}{2}$。
把$CD = 4$代入$AB=\frac{3× CD}{2}$，得$AB=\frac{3×4}{2}=6$。
综上，（1）已证$\triangle DCP\backsim\triangle ABP$；（2）$AB$的长为$6$。

5. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,以$AC为直径的\odot O与BC交于点D$,$DE\perp AB$,垂足为$E$。$ED的延长线与AC的延长线交于点F$。
(1)求证：$DE是\odot O$的切线。
(2)若$\odot O的半径为2$,$BE= 1$,求$FC$的长。

27.2.3 相似三角形应用举例(一)

答案：
(1)证明：连接OD，AD。
∵AC为⊙O直径，
∴∠ADC=90°。
∵AB=AC，
∴BD=CD。
∵OA=OC，
∴OD//AB。
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD。
∵OD是⊙O半径，
∴DE是⊙O的切线。
(2)解：
∵⊙O半径为2，
∴AC=4，AB=AC=4。
∵BE=1，
∴AE=AB - BE=3。
∵OD//AB，
∴△FOD∽△FAE。
∴$\frac{OD}{AE}=\frac{FO}{FA}$。
设FC=x，则FO=x + 2，FA=x + 4。
∴$\frac{2}{3}=\frac{x + 2}{x + 4}$。
解得x=2。
经检验，x=2是原方程的解。
∴FC的长为2。