《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

8. 如图所示,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D,AD交⊙O于点E,AE= 3,CD= 2.
(1)求证：AC平分∠DAB.
(2)求⊙O的半径.

答案：
(1)证明：连接OC。
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD。
∵AD⊥CD，
∴AD//OC，
∴∠DAC=∠OCA。
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，即AC平分∠DAB。
(2)解：连接BC，过C作CF⊥AB于F。
∵AC平分∠DAB，AD⊥CD，CF⊥AB，
∴CF=CD=2。
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°。
∵∠DAC=∠CAB，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠ABC。
∵∠ADC=∠CFB=90°，
∴△ADC∽△CFB，
∴AD/CF=CD/BF。
设AD=x，BF=y，则x/2=2/y，即xy=4。
∵∠DAC=∠CAB，∠ADC=∠AFC=90°，AC=AC，
∴△ADC≌△AFC(AAS)，
∴AF=AD=x，AD=AF=x。
∵AB=AF+BF=x+y，AE=3，
∴ED=AD-AE=x-3。
∵AD//OC，
∴△EOC∽△EAD，
∴OC/AD=EO/EA。
设⊙O半径为r，则EO=AO-AE=r-3，
∴r/x=(r-3)/3，即r=3x/(6-x)。
∵AB=x+y=2r，
∴x+y=6x/(6-x)，
∴y=6x/(6-x)-x=(x²)/(6-x)。
∵xy=4，
∴x·(x²)/(6-x)=4，即x³+4x-24=0，解得x=4（经检验x=4是方程的解）。
∴r=3×4/(6-4)=6，即⊙O的半径为6。
答案：
(2)6

9. 如图所示,在□ABCD中,⊙O过点A,C,D,交BC于点E,连接AE,∠BAE= ∠ACE.求证：
(1)AE= CD.
(2)AB是⊙O的切线.

答案： 1. 证明$AE = CD$：
解：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$AB = CD$。
所以$\angle DAE=\angle AEB$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$\angle DAE=\angle ACE$（同弧所对的圆周角相等），且$\angle BAE=\angle ACE$。
所以$\angle BAE=\angle AEB$。
所以$AB = BE$。
因为$AB = CD$，所以$AE = CD$。
2. 证明$AB$是$\odot O$的切线：
解：
连接$OA$，$OE$。
设$\angle BAE=\angle ACE = x$，$\angle DAE=\angle AEB=\angle ACE = x$。
因为$OA = OE$，所以$\angle OAE=\angle OEA$。
由$\angle AOE = 2\angle ACE = 2x$（同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍）。
根据三角形内角和定理$\angle OAE+\angle OEA+\angle AOE = 180^{\circ}$，且$\angle OAE=\angle OEA$，可得$\angle OAE=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle AOE)=\frac{1}{2}(180 - 2x)=90^{\circ}-x$。
又因为$\angle BAE=x$，所以$\angle OAB=\angle OAE+\angle BAE=(90^{\circ}-x)+x = 90^{\circ}$。
因为$OA$是$\odot O$的半径，$OA\perp AB$。
所以$AB$是$\odot O$的切线。