《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

8. 如图所示，在△ABC中，AB=BC，O是AC边上的中点，将△ABC绕点O旋转$180^\circ$得到△ACD.
(1)求证：四边形ABCD是菱形.
(2)如果$\angle ABC=30^\circ$，BC=2，求菱形ABCD的面积.

答案： 1. （1）**证明四边形$ABCD$是菱形**：
解（证明）：
因为$\triangle ABC$绕点$O$旋转$180^{\circ}$得到$\triangle ACD$，所以$\triangle ABC\cong\triangle CDA$。
则$AB = CD$，$BC = DA$（全等三角形的对应边相等）。
又因为$AB = BC$，所以$AB = BC = CD = DA$。
根据菱形的定义：四条边都相等的四边形是菱形，所以四边形$ABCD$是菱形。
2. （2）**求菱形$ABCD$的面积**：
解：
连接$BD$交$AC$于点$O$（菱形的对角线互相垂直且平分）。
因为$AB = BC = 2$，$\angle ABC = 30^{\circ}$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot\sin\angle ABC$（三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ab\sin C$，这里$a = AB$，$b = BC$，$C=\angle ABC$）。
则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×2×2×\sin30^{\circ}$。
由于$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×2×2×\frac{1}{2}=1$。
因为菱形$ABCD$由$2$个全等的$\triangle ABC$组成（$\triangle ABC\cong\triangle ADC$），所以$S_{菱形ABCD}=2S_{\triangle ABC}$。
所以$S_{菱形ABCD}=2×1 = 2$。
综上，（1）四边形$ABCD$是菱形得证；（2）菱形$ABCD$的面积为$2$。

9. 如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转$60^\circ$得到线段AQ，连接BQ，PB，PC.求证：CP=BQ.

答案： 【解析】：本题可根据等边三角形的性质以及旋转的性质，通过证明三角形全等来得出$CP = BQ$。
已知$\triangle ABC$是等边三角形，则$AB = AC$，$\angle BAC = 60^{\circ}$。
因为线段$AP$绕点$A$顺时针旋转$60^{\circ}$得到线段$AQ$，所以$AP = AQ$，$\angle PAQ = 60^{\circ}$。
由此可得$\angle BAC=\angle PAQ$，那么$\angle BAC - \angle PAB=\angle PAQ - \angle PAB$，即$\angle CAP = \angle BAQ$。
在$\triangle CAP$和$\triangle BAQ$中，$AC = AB$，$\angle CAP = \angle BAQ$，$AP = AQ$，根据全等三角形判定定理（$SAS$：两边及其夹角对应相等的三角形全等），可得出$\triangle CAP\cong\triangle BAQ$。
根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，所以$CP = BQ$。
【答案】：证明：
∵$\triangle ABC$是等边三角形，
∴$AB = AC$，$\angle BAC = 60^{\circ}$。
∵线段$AP$绕点$A$顺时针旋转$60^{\circ}$得到线段$AQ$，
∴$AP = AQ$，$\angle PAQ = 60^{\circ}$。
∴$\angle BAC=\angle PAQ$，
∴$\angle BAC - \angle PAB=\angle PAQ - \angle PAB$，即$\angle CAP = \angle BAQ$。
在$\triangle CAP$和$\triangle BAQ$中，
$\begin{cases}AC = AB\\\angle CAP = \angle BAQ\\AP = AQ\end{cases}$
∴$\triangle CAP\cong\triangle BAQ(SAS)$。
∴$CP = BQ$。