《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

10. 如图所示,在由边长为1的小正方形组成的网格中,反比例函数$y= \frac{k}{x}(x＜0)$的图象过格点(网格线的交点)$P$.

(1)求反比例函数的解析式.
(2)画出两个三角形(不写画法),要求每个三角形均需满足下列两个条件：
①三个顶点均在格点上,且其中两个顶点是$O,P$；
②三角形的面积等于$|k|$.

答案：
(1)解：由图可知，格点P的坐标为(-2,1)。
因为反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象过点P，所以将$P(-2,1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{-2}$，解得$k=-2$。
所以反比例函数的解析式为$y=-\frac{2}{x}$。
(2)解：$|k|=2$，即三角形面积为2。
三角形1：顶点为O(0,0)，P(-2,1)，A(-4,0)。
三角形2：顶点为O(0,0)，P(-2,1)，B(0,2)。

11. 如图所示,在平面直角坐标系中,$A(a,0)$,$B(0,b)是矩形OACB$的两个顶点. 定义：如果双曲线$y= \frac{k}{x}经过AC的中点D$,那么双曲线$y= \frac{k}{x}为矩形OACB$的中点双曲线.

(1)若$a= 3$,$b= 2$,请判断$y= \frac{3}{x}是否为矩形OACB$的中点双曲线？并说明理由.
(2)若$y= \frac{k}{x}是矩形OACB$的中点双曲线,$E是矩形OACB与中点双曲线y= \frac{k}{x}$的另一个交点,连接$OD$,$OE$,四边形$ODCE的面积S= 4$,试求出$k$的值.

答案：
(1)解：是。理由如下：
∵A(3,0)，B(0,2)，四边形OACB是矩形，
∴C(3,2)，AC的中点D的坐标为(3,1)。
若双曲线$y=\frac{3}{x}$经过点D，则当x=3时，y=1，满足$y=\frac{3}{x}$，
∴$y=\frac{3}{x}$是矩形OACB的中点双曲线。
(2)解：设A(a,0)，B(0,b)，则C(a,b)，AC中点D(a,$\frac{b}{2}$)。
∵双曲线$y=\frac{k}{x}$是中点双曲线，
∴$k=a\cdot\frac{b}{2}=\frac{ab}{2}$。
矩形OACB与双曲线的另一个交点E，设E(x,b)，则$b=\frac{k}{x}$，$x=\frac{k}{b}=\frac{a}{2}$，即E($\frac{a}{2}$,b)。
$S_{矩形OACB}=ab=2k$，$S_{\triangle OAD}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{b}{2}=\frac{ab}{4}=\frac{k}{2}$，$S_{\triangle OBE}=\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{2}\cdot b=\frac{ab}{4}=\frac{k}{2}$。
$S_{四边形ODCE}=S_{矩形OACB}-S_{\triangle OAD}-S_{\triangle OBE}=2k-\frac{k}{2}-\frac{k}{2}=k$。
∵$S=4$，
∴k=4。