《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 若二次函数$y= ax^{2}-x+a^{2}-1$的图象过原点,且开口向上,则$a$的值是______1.

答案： 解：
∵二次函数$y=ax^{2}-x+a^{2}-1$的图象过原点，
∴将$(0,0)$代入函数得：$0=a×0^{2}-0+a^{2}-1$，
即$a^{2}-1=0$，
解得$a=\pm1$。
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$，
∴$a=1$。
故答案为：1。

2. 若某二次函数的图象经过$A(-1,0),B(0,-3),C(3,0)$三点,则该函数的解析式为______$y = x^2 - 2x - 3$.

答案： 解：设二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$。
因为函数图象经过$A(-1,0)$，$B(0,-3)$，$C(3,0)$三点，所以将三点坐标分别代入解析式可得：
$\begin{cases}a×(-1)^2 + b×(-1) + c = 0 \\ a×0^2 + b×0 + c = -3 \\ a×3^2 + b×3 + c = 0\end{cases}$
即$\begin{cases}a - b + c = 0 \\ c = -3 \\ 9a + 3b + c = 0\end{cases}$
将$c=-3$代入$a - b + c = 0$，得$a - b - 3 = 0$，即$a - b = 3$ ①
将$c=-3$代入$9a + 3b + c = 0$，得$9a + 3b - 3 = 0$，化简得$3a + b = 1$ ②
① + ②得：$4a = 4$，解得$a = 1$
将$a = 1$代入①得：$1 - b = 3$，解得$b = -2$
所以二次函数的解析式为$y = x^2 - 2x - 3$
答案：$y = x^2 - 2x - 3$

3. 若抛物线的对称轴是直线$x= 1$,函数有最大值为4,且抛物线经过点$(0,2)$,则其解析式为$y = -2x^2 + 4x + 2$.

答案： 解：设抛物线的解析式为$y=a(x - 1)^2 + 4$（$a\neq0$）。
因为抛物线经过点$(0,2)$，将$x=0$，$y=2$代入解析式得：
$2 = a(0 - 1)^2 + 4$
$2 = a + 4$
解得$a = -2$
所以抛物线的解析式为$y = -2(x - 1)^2 + 4$，展开得$y = -2x^2 + 4x + 2$。
答案：$y = -2x^2 + 4x + 2$

4. 将抛物线$y= -2x^{2}+4x-1$沿y轴翻折后得到的新抛物线的解析式为$y = -2x^{2} - 4x - 1$;将抛物线$y= -2x^{2}+4x-1$沿x轴翻折后得到的新抛物线的解析式为$y = 2x^{2} - 4x + 1$.

答案： 【解析】：
对于沿$y$轴翻折的情况，我们需要将$x$替换为$-x$。
原抛物线方程为$y = -2x^{2} + 4x - 1$，
翻折后，新的抛物线方程为$y = -2(-x)^{2} + 4(-x) - 1 = -2x^{2} - 4x - 1$。
对于沿$x$轴翻折的情况，我们需要将$y$替换为$-y$。
原抛物线方程为$y = -2x^{2} + 4x - 1$，
翻折后，新的抛物线方程可以通过将原方程乘以$-1$
得到，即$-y = -2x^{2} + 4x - 1$，
化简得$y = 2x^{2} - 4x + 1$。
【答案】：
$y = -2x^{2} - 4x - 1$；$y = 2x^{2} - 4x + 1$。

5. 已知一个二次函数有以下性质:函数图象的顶点在$x$轴上;当$x＜1$时,$y随x$的增大而减小;函数有最小值. 请你写出满足上述所有性质的一个二次函数解析式:$y=(x-1)^2$（答案不唯一）.

答案： 【解析】：
根据题意，函数的顶点在$x$轴上，即顶点的$y$坐标为$0$。又因为当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，说明函数的对称轴是$x=1$，并且函数开口向上。由于函数有最小值，这也验证了函数开口向上的推断。
综合以上信息，我们可以确定一个满足条件的二次函数解析式。一个可能的解析式是$y=(x-1)^2$，因为当$x=1$时，$y$取得最小值$0$，并且在$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】：
$y=(x-1)^2$（答案不唯一）

6. 已知抛物线经过点$A(2,0)和B(-1,0)$,且与$y轴交于点C$. 若$OC= 2$,则这条抛物线的解析式是$y=-x^{2}+x+2$或$y=x^{2}-x-2$.

答案： 解：设抛物线的解析式为$y=a(x-2)(x+1)$。
因为抛物线与$y$轴交于点$C$，$OC=2$，所以点$C$的坐标为$(0,2)$或$(0,-2)$。
当点$C$的坐标为$(0,2)$时，代入解析式得：$2=a(0 - 2)(0 + 1)$，即$2 = -2a$，解得$a=-1$，此时抛物线的解析式为$y=-(x-2)(x+1)=-x^{2}+x+2$。
当点$C$的坐标为$(0,-2)$时，代入解析式得：$-2=a(0 - 2)(0 + 1)$，即$-2 = -2a$，解得$a=1$，此时抛物线的解析式为$y=(x-2)(x+1)=x^{2}-x-2$。
综上，这条抛物线的解析式是$y=-x^{2}+x+2$或$y=x^{2}-x-2$。

7. 如图所示,抛物线$y= x^{2}+bx+c$经过坐标原点,并与$x轴交于点A(2,0)$.
(1)求此抛物线的解析式.
解：将点$(0,0)$和点$A(2,0)$代入$y = x^2 + bx + c$，得到方程组：$\begin{cases}c = 0 \\4 + 2b + c = 0\end{cases}$，解得：$\begin{cases}b = -2 \\c = 0\end{cases}$，所以，抛物线的解析式为$y = x^2 - 2x$。
(2)此抛物线的顶点坐标为$(1, -1)$,对称轴为直线$x = 1$.
(3)若抛物线上有一点$B$,且$S_{\triangle AOB}= 3$,求点$B$的坐标.
解：设点$B$的坐标为$(x, y)$，已知$OA = 2$，三角形$AOB$的面积为3，所以$\frac{1}{2} × OA × |y| = 3$，即$|y| = 3$，所以$y = \pm 3$。当$y = 3$时，代入$y = x^2 - 2x$，得到方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，解得$x = 3$或$x = -1$，所以对应的点$B$的坐标为$(3, 3)$或$(-1, 3)$。当$y = -3$时，代入$y = x^2 - 2x$，得到方程$x^2 - 2x + 3 = 0$，判别式$\Delta=4-4×1×3=-8\lt0$，此方程无实数解。综上，点$B$的坐标为$(3, 3)$或$(-1, 3)$。

答案： 【解析】：
(1)要求抛物线的解析式，已知抛物线经过坐标原点$(0,0)$和点$A(2,0)$，将这两点代入抛物线方程$y = x^2 + bx + c$，得到两个方程，从而解出$b$和$c$的值。
(2)对于抛物线$y = ax^2 + bx + c$，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, c-\frac{b^2}{4a})$，对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$。将求得的$b$和$c$值代入，即可得到顶点的坐标和对称轴。
(3)已知三角形$AOB$的面积为3，$OA$为底，$B$点的纵坐标的绝对值为高，根据三角形面积公式，可以求出$B$点的纵坐标。再将求得的纵坐标代入抛物线方程，即可求出$B$点的横坐标。
【答案】：
(1)解：将点$(0,0)$和点$A(2,0)$代入$y = x^2 + bx + c$，
得到方程组：
$\begin{cases}c = 0 \\4 + 2b + c = 0\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}b = -2 \\c = 0\end{cases}$
所以，抛物线的解析式为$y = x^2 - 2x$。
(2)对于抛物线$y = x^2 - 2x$，
其顶点坐标为$(\frac{2}{2×1}, 0-\frac{(-2)^2}{4×1})=(1, -1)$，
对称轴为直线$x =-\frac{-2}{2×1}= 1$。
故答案为：$(1, -1)$；$x = 1$。
(3)设点$B$的坐标为$(x, y)$，
已知$OA = 2$，三角形$AOB$的面积为3，
所以$\frac{1}{2} × OA × |y| = 3$，
即$|y| = 3$，
所以$y = \pm 3$。
当$y = 3$时，代入$y = x^2 - 2x$，
得到方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，
解得$x = 3$或$x = -1$，
所以，对应的点$B$的坐标为$(3, 3)$或$(-1, 3)$。
当$y = -3$时，代入$y = x^2 - 2x$，
得到方程$x^2 - 2x + 3 = 0$，
判别式$\Delta=4-4×1×3=-8\lt0$，
此方程无实数解。
综上，点$B$的坐标为$(3, 3)$或$(-1, 3)$。

8. 已知二次函数$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)中的x和y$的值满足下表：
| $x$ | …$$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | …$$ |
| $y$ | …$$ | 3 | 0 | -1 | 0 | $m$ | 8 | …$$ |
(1)表中$m$的值为______3.
(2)求出这个二次函数的解析式.$y=x^2-4x+3$
(3)当$y＞3$时,$x$的取值范围为______$x＜0$或$x＞4$.

答案： 【解析】：
(1)观察表格，发现当$x=1$和$x=3$时，$y$值都为0，且二次函数的对称轴为$x=2$（因为$x=1$和$x=3$是关于$x=2$对称的），所以该二次函数的顶点为$(2, -1)$。
由于$x=0$和$x=4$是关于对称轴$x=2$对称的，所以$x=4$时的$y$值与$x=0$时的$y$值相等，即$m=3$。
(2)已知二次函数的顶点形式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$为顶点坐标。
由题意知顶点为$(2, -1)$，所以$h=2$，$k=-1$。
代入点$(0,3)$到$y=a(x-2)^2-1$中，得到$3=a(0-2)^2-1$，
即$3=4a-1$，
解得$a=1$。
所以二次函数的解析式为$y=(x-2)^2-1$，
展开得$y=x^2-4x+3$。
(3)要求$y＞3$时$x$的取值范围，即解不等式$x^2-4x+3＞3$，
化简得$x^2-4x＞0$，
即$x(x-4)＞0$。
由此可得$x＜0$或$x＞4$。
【答案】：
(1)$m=3$；
(2)$y=x^2-4x+3$；
(3)$x＜0$或$x＞4$。