《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 二次函数$y= 2(x+5)^{2}$的图象是抛物线,开口向上,对称轴是直线$x=-5$;当$x= $$-5$时,$y$有最小值,是$0$.

答案： 【解析】：
题目考查二次函数$y=a(x-h)^2+k$的图象和性质，其中此题是二次函数的顶点式，即$y=2(x+5)^2$可以看作$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中$a=2, h=-5, k=0$。
由于$a=2＞0$，所以抛物线开口向上。
二次函数的对称轴为$x=h$，所以此题的对称轴为$x=-5$。
由于抛物线开口向上，所以函数在对称轴上取得最小值。将$x=-5$代入原函数，得到$y=2×(0)^2=0$，即最小值为0。
【答案】：
抛物线；向上；直线$x=-5$；$-5$；小；$0$

2. 二次函数$y= x^{2}-4的图象与x轴交于A,B$两点,与$y轴交于点C$. 下列说法正确的是______(填序号).
①点$C的坐标是(0,4)$;②$y随x$的增大而减小;③$AB= 4$;④$\triangle ABC$是等腰三角形.
③④

答案： 解：
① 当$x=0$时，$y=0^{2}-4=-4$，则点$C$的坐标是$(0,-4)$，故①错误；
② 二次函数$y=x^{2}-4$的对称轴为$x=0$，开口向上，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，故②错误；
③ 当$y=0$时，$x^{2}-4=0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-2$，则$A(-2,0)$，$B(2,0)$，$AB=|2-(-2)|=4$，故③正确；
④ 由$A(-2,0)$，$B(2,0)$，$C(0,-4)$，得$AC=BC=\sqrt{(2-0)^{2}+(0+4)^{2}}=2\sqrt{5}$，则$\triangle ABC$是等腰三角形，故④正确。
答案：③④

3. 将抛物线$y= 3x^{2}+1$向上平移2个单位长度得到的新抛物线的解析式为______$y = 3x^{2} + 3$;将抛物线$y= 3(x+1)^{2}$向右平移1个单位长度得到的新抛物线的解析式为______$y = 3x^{2}$;将抛物线$y= 3x^{2}+1沿x$轴翻折得到的新抛物线的解析式为______$y = - 3x^{2} - 1$.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数图像的平移和翻折变换。
1. 对于抛物线 $y = 3x^{2} + 1$ 向上平移2个单位长度，根据平移规律，新的解析式应为 $y = 3x^{2} + 1 + 2 = 3x^{2} + 3$。
2. 对于抛物线 $y = 3(x + 1)^{2}$ 向右平移1个单位长度，根据平移规律，新的解析式应为 $y = 3(x + 1 - 1)^{2} = 3x^{2}$。
3. 对于抛物线 $y = 3x^{2} + 1$ 沿x轴翻折，根据翻折变换的性质，新的解析式应为 $y = - (3x^{2} + 1) = - 3x^{2} - 1$。
【答案】：
$y = 3x^{2} + 3$；$y = 3x^{2}$；$y = - 3x^{2} - 1$

4. 如图所示的是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽6 m,当水面下降多少米时,水面宽8 m?

答案： 【解析】：
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，关键在于建立平面直角坐标系，根据已知条件求出二次函数的表达式，再利用该表达式求解水面下降的高度。
以抛物线的顶点为原点，对称轴为$y$轴建立平面直角坐标系。
设抛物线的表达式为$y = ax^2$（$a\neq0$），因为当拱顶离水面$2m$时，水面宽$6m$，即当$y = - 2$时，$x=\pm3$，把$x = 3$，$y = - 2$代入$y = ax^2$，可得$-2=a×3^2$，解得$a=-\frac{2}{9}$，所以抛物线的表达式为$y = -\frac{2}{9}x^2$。
当水面宽$8m$时，此时$x=\pm4$，把$x = 4$代入$y = -\frac{2}{9}x^2$，可得$y=-\frac{2}{9}×4^2=-\frac{32}{9}$。
原来水面到拱顶距离为$2m$，现在水面到拱顶距离为$\vert-\frac{32}{9}\vert=\frac{32}{9}m$，则水面下降的高度为$\frac{32}{9}-2=\frac{32}{9}-\frac{18}{9}=\frac{14}{9}(m)$。
【答案】：
解：以抛物线的顶点为原点，对称轴为$y$轴建立平面直角坐标系。
设抛物线的表达式为$y = ax^2$（$a\neq0$）。
当$y = - 2$时，$x=\pm3$，把$x = 3$，$y = - 2$代入$y = ax^2$，得$-2=a×3^2$，解得$a=-\frac{2}{9}$。
所以抛物线的表达式为$y = -\frac{2}{9}x^2$。
当水面宽$8m$时，$x=\pm4$，把$x = 4$代入$y = -\frac{2}{9}x^2$，得$y=-\frac{2}{9}×4^2=-\frac{32}{9}$。
原来水面到拱顶距离为$2m$，现在水面到拱顶距离为$\frac{32}{9}m$，水面下降的高度为$\frac{32}{9}-2=\frac{14}{9}(m)$。
答：当水面下降$\frac{14}{9}m$时，水面宽$8m$。

5. 如图所示,已知二次函数$y= (x+2)^{2}的图象与x轴交于点A$,与$y轴交于点B$.
(1)求点$A,B$的坐标.
(2)求$S_{\triangle AOB}$.
(3)在该函数图象的对称轴上是否存在一点$P$,使以$P,A,O,B$为顶点的四边形为平行四边形？若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)解：对于二次函数$y=(x+2)^2$，
令$y=0$，则$(x+2)^2=0$，解得$x=-2$，所以点$A$的坐标为$(-2,0)$；
令$x=0$，则$y=(0+2)^2=4$，所以点$B$的坐标为$(0,4)$。
(2)解：由
(1)知$A(-2,0)$，$B(0,4)$，则$OA=|-2|=2$，$OB=4$，
所以$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×2×4=4$。
(3)解：二次函数$y=(x+2)^2$的对称轴为直线$x=-2$，设点$P$的坐标为$(-2,m)$。
分三种情况讨论：
①当$AB$为平行四边形的边，且$AP// OB$，$AP=OB$时，
因为$OB// y$轴，所以$AP// y$轴，又$A(-2,0)$，所以点$P$与点$A$的横坐标相同，即$P(-2,m)$，则$AP=|m-0|=|m|$，因为$OB=4$，所以$|m|=4$，解得$m=4$或$m=-4$，
当$m=4$时，$P(-2,4)$，此时四边形$APBO$为平行四边形；当$m=-4$时，$P(-2,-4)$，此时四边形$ABPO$为平行四边形。
②当$AB$为平行四边形的边，且$BP// OA$，$BP=OA$时，
因为$OA// x$轴，所以$BP// x$轴，又$B(0,4)$，所以点$P$与点$B$的纵坐标相同，即$m=4$，则$BP=|0-(-2)|=2$，$OA=2$，所以$BP=OA$，此时点$P$的坐标为$(-2,4)$，与①中情况重合。
③当$AB$为平行四边形的对角线时，对角线$AB$与$OP$互相平分，
则$AB$的中点坐标为$(\frac{-2+0}{2},\frac{0+4}{2})=(-1,2)$，$OP$的中点坐标为$(\frac{-2+0}{2},\frac{m+0}{2})=(-1,\frac{m}{2})$，所以$\frac{m}{2}=2$，解得$m=4$，此时点$P$的坐标为$(-2,4)$，与①中情况重合。
综上，点$P$的坐标为$(-2,4)$或$(-2,-4)$。