《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 若反比例函数$y= \frac{2}{x}$的图象经过点$(n,n)$,则 n 的值是$\pm\sqrt{2}$.

答案： 解：因为反比例函数$y = \frac{2}{x}$的图象经过点$(n, n)$，所以将$x = n$，$y = n$代入函数可得$n = \frac{2}{n}$，两边同时乘以$n$得$n^2 = 2$，解得$n = \pm\sqrt{2}$。
$\pm\sqrt{2}$

2. 若$A(-3,y_1),B(-2,y_2),C(-1,y_3)$三点都在函数$y= -\frac{1}{x}$的图象上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$(用“＜”连接起来).

答案： 【解析】：
本题主要考察反比例函数$y = -\frac{1}{x}$的性质。
由于反比例函数$y = -\frac{1}{x}$中，$k = -1 ＜ 0$，所以该函数的图象位于第二，四象限，且在每一象限内$y$随$x$的增大而增大。
给定三个点$A(-3,y_1)$，$B(-2,y_2)$，$C(-1,y_3)$，由于它们的$x$坐标都是负数，所以这三点都位于第二象限。
在第二象限内，由于$y$随$x$的增大而增大，所以我们可以根据$x$坐标的大小来判断$y$坐标的大小。
由于$-3 ＜ -2 ＜ -1$，我们可以得出$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$。
【答案】：
$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$

3. 如图所示,点 A 是反比例函数$y= \frac{k}{x}$在第四象限内图象上的点,$AB\perp x$轴,垂足为 B.若$S_{\triangle AOB}= 1$,则 k 的值为-2.

答案： 【解析】：本题考查反比例函数$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\neq0$）中$k$的几何意义。
设点$A$的坐标为$(x,y)$，因为点$A$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，所以$y=\frac{k}{x}$，即$xy = k$。
已知$AB\perp x$轴，垂足为$B$，则$OB=\vert x\vert$，$AB=\vert y\vert$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}× OB× AB=\frac{1}{2}×\vert x\vert×\vert y\vert$。
因为点$A$在第四象限，所以$x\gt0$，$y\lt0$，那么$\vert x\vert=x$，$\vert y\vert=-y$，则$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}× x×(-y)=-\frac{1}{2}xy$。
又已知$S_{\triangle AOB}=1$，所以$-\frac{1}{2}xy = 1$，即$xy=-2$。
而$xy = k$，所以$k = - 2$。
【答案】：$-2$

4. P 是反比例函数图象上的一点,过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线,垂足分别为 M,N.如果四边形 PMON 的面积为 3,那么这个反比例函数的解析式是$y = \frac{3}{x}$或$y = -\frac{3}{x}$.

答案： 解：设反比例函数解析式为$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$，点$P$的坐标为$(x,y)$。
因为点$P$在反比例函数图象上，所以$xy = k$。
过点$P$向$x$轴、$y$轴作垂线，垂足为$M$、$N$，则四边形$PMON$为矩形，其面积为$|x| \cdot |y| = |xy| = |k|$。
已知四边形$PMON$的面积为$3$，所以$|k| = 3$，即$k = \pm 3$。
故反比例函数的解析式为$y = \frac{3}{x}$或$y = -\frac{3}{x}$。
答案：$y = \frac{3}{x}$或$y = -\frac{3}{x}$

5. 如图所示,点 A 在反比例函数$y= \frac{3}{x}(x＞0)$的图象上,点 B 在反比例函数$y= \frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,点 C,D 都在 x 轴上.若四边形 ABCD 是矩形,且它的面积是 6,则 k 的值是____9.

答案： 解：设点A的坐标为$(a,\frac{3}{a})$，点B的坐标为$(b,\frac{k}{b})$，其中$a＞0$，$b＞0$。
因为四边形ABCD是矩形，所以$AD$和$BC$垂直于$x$轴，$AB$平行于$x$轴。
所以点A和点B的纵坐标相等，即$\frac{3}{a}=\frac{k}{b}$，可得$b=\frac{ak}{3}$。
$AD$的长度为点A的纵坐标，即$\frac{3}{a}$；$AB$的长度为$b - a$。
矩形ABCD的面积为$AB× AD=(b - a)×\frac{3}{a}=6$。
将$b=\frac{ak}{3}$代入上式：$(\frac{ak}{3}-a)×\frac{3}{a}=6$，化简得$(\frac{k}{3}-1)×3=6$，即$k - 3=6$，解得$k=9$。
答案：9

6. 一次函数$y= mx+5的图象与反比例函数y= \frac{k}{x}(k\neq0)在第一象限的图象交于A(1,n)和B(4,1)$两点,过点 A 作 y 轴的垂线,垂足为 M.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式.
(2)求$\triangle OAM$的面积 S.
(3)在 y 轴上求一点 P,使$PA+PB$最小.

答案： 【解析】：
(1)本题可根据反比例函数和一次函数的性质，利用已知点的坐标来求解函数解析式。
已知反比例函数$y = \frac{k}{x}(k\neq0)$过点$B(4,1)$，将点$B$的坐标代入反比例函数中，可求出$k$的值，进而得到反比例函数解析式。
再将点$A(1,n)$代入反比例函数解析式，求出$n$的值，最后将点$A$的坐标代入一次函数$y = mx + 5$中，求出$m$的值，得到一次函数解析式。
(2)要求$\triangle OAM$的面积$S$，需要先确定点$A$和点$M$的坐标，再根据三角形面积公式求解。
已知点$A$的坐标，且过点$A$作$y$轴的垂线，垂足为$M$，则点$M$的横坐标为$0$，纵坐标与点$A$相同，进而可得到$OM$和$AM$的长度，最后根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$计算$\triangle OAM$的面积。
(3)要使$PA + PB$最小，可利用轴对称的性质。
先求出点$A$关于$y$轴的对称点$A'$的坐标，连接$A'B$，与$y$轴的交点即为所求的点$P$。
可先求出直线$A'B$的解析式，再令$x = 0$，求出$y$的值，从而得到点$P$的坐标。
【答案】：
(1)
因为反比例函数$y = \frac{k}{x}(k\neq0)$的图象过点$B(4,1)$，将$B(4,1)$代入$y = \frac{k}{x}$，可得：
$1=\frac{k}{4}$，解得$k = 4$。
所以反比例函数的解析式为$y = \frac{4}{x}$。
把$A(1,n)$代入$y = \frac{4}{x}$，可得$n = \frac{4}{1}= 4$，则$A$点坐标为$(1,4)$。
把$A(1,4)$代入$y = mx + 5$，可得$4 = m + 5$，解得$m = -1$。
所以一次函数的解析式为$y = -x + 5$。
(2)
因为过点$A$作$y$轴的垂线，垂足为$M$，$A(1,4)$，所以$M$点坐标为$(0,4)$。
则$OM = 4$，$AM = 1$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得${S}_{\triangle OAM}=\frac{1}{2}× OM× AM=\frac{1}{2}× 4× 1 = 2$。
(3)
点$A(1,4)$关于$y$轴的对称点$A'(-1,4)$。
设直线$A'B$的解析式为$y = ax + b$，把$A'(-1,4)$，$B(4,1)$代入可得：
$\begin{cases}-a + b = 4,\\4a + b = 1.\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去$b$可得：
$\begin{aligned}4a + b - (-a + b)&=1 - 4\\4a + b + a - b&=-3\\5a&=-3\\a&=-\frac{3}{5}\end{aligned}$
把$a = -\frac{3}{5}$代入$-a + b = 4$可得：
$\begin{aligned}\frac{3}{5}+ b&= 4\\b&= 4 - \frac{3}{5}\\b&=\frac{17}{5}\end{aligned}$
所以直线$A'B$的解析式为$y = -\frac{3}{5}x + \frac{17}{5}$。
令$x = 0$，可得$y = \frac{17}{5}$，所以$P$点坐标为$(0,\frac{17}{5})$。