《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

15. 如图所示,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点C和A分别在x轴和y轴上,经过A,C两点的抛物线交x轴于另一点D. 请仅用无刻度的直尺完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)连接AC,在图①中的抛物线上找出点E,使$DE= AC$.
(2)在图②中的抛物线上作出该抛物线的顶点F.

答案：

16. 如图所示,在等腰直角三角形ABC中,$AC= BC$,$\angle ACB= 90^{\circ}$,D为斜边AB上一点(不与A,B重合),$AD＜BD$,连接CD,将线段CD绕点C沿顺时针方向旋转$90^{\circ}$至CE,连接BE,DE.
(1)求证：$\triangle ACD\cong\triangle BCE$.
(2)若$AC= 4\sqrt{2}$,$AD= 1$,求DE的长.

答案： 【解析】：
(1)本题可根据等腰直角三角形的性质以及旋转的性质，通过证明两个三角形的对应边和对应角相等，进而证明$\triangle ACD\cong\triangle BCE$。
(2)由
(1)的结论可推出$\angle CBE = \angle A = 45^{\circ}$，进而得到$\angle DBE = 90^{\circ}$，再结合$CD = CE$，$\angle DCE = 90^{\circ}$，可判断出$\triangle CDE$是等腰直角三角形，最后利用勾股定理求出$DE$的长。
【答案】：证明：
(1)
∵$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$
∴$\angle A = \angle ABC = 45^{\circ}$，$AC = BC$
∵线段$CD$绕点$C$沿顺时针方向旋转$90^{\circ}$至$CE$
∴$CD = CE$，$\angle DCE = 90^{\circ}$
∵$\angle ACD + \angle DCB = \angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle BCE + \angle DCB = \angle DCE = 90^{\circ}$
∴$\angle ACD = \angle BCE$
在$\triangle ACD$和$\triangle BCE$中
$\begin{cases}AC = BC\\\angle ACD = \angle BCE\\CD = CE\end{cases}$
∴$\triangle ACD\cong\triangle BCE(SAS)$
(2)
由
(1)知$\triangle ACD\cong\triangle BCE$
∴$BE = AD = 1$，$\angle CBE = \angle A = 45^{\circ}$
∵$\angle ABC = 45^{\circ}$
∴$\angle DBE = \angle CBE + \angle ABC = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$
∵$CD = CE$，$\angle DCE = 90^{\circ}$
∴$\triangle CDE$是等腰直角三角形
在$Rt\triangle ABC$中，$AC = BC = 4\sqrt{2}$
根据勾股定理$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{(4\sqrt{2})^{2} + (4\sqrt{2})^{2}} = 8$
∴$BD = AB - AD = 8 - 1 = 7$
在$Rt\triangle DBE$中，$\angle DBE = 90^{\circ}$，$BE = 1$，$BD = 7$
根据勾股定理$DE = \sqrt{BD^{2} + BE^{2}} = \sqrt{7^{2} + 1^{2}} = \sqrt{49 + 1} = 5\sqrt{2}$
综上，$DE$的长为$5\sqrt{2}$。