《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

10. 若抛物线$y= ax^{2}+2ax-3$的图象如图所示,则一元二次方程$ax^{2}+2ax-3= 0$的解为$x_1 = -3$，$x_2 = 1$.

答案： 【解析】：
由抛物线$y = ax^2 + 2ax - 3$的图象可知，该抛物线与$x$轴的交点横坐标，就是一元二次方程$ax^2 + 2ax - 3 = 0$的解。
从图中可以看到，抛物线与$x$轴的交点横坐标分别为$x = -3$和$x = 1$。
因此，一元二次方程$ax^2 + 2ax - 3 = 0$的解为$x_1 = -3$，$x_2 = 1$。
【答案】：
$x_1 = -3$，$x_2 = 1$

11. 田亩比类乘除捷法是一种数学算法,由中国古代数学家杨辉提出,它主要用于解决与田亩面积计算相关的问题. 其中有一个具体的数学问题：“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何.”大意是：一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,那么它的长比宽多多少步？根据题意,得长比宽多12步.

答案： 解：设矩形田地的长为$x$步，则宽为$(60 - x)$步。
根据题意，得$x(60 - x) = 864$，
整理，得$x^2 - 60x + 864 = 0$，
解得$x_1 = 36$，$x_2 = 24$（因为长大于宽，所以$x = 36$），
则宽为$60 - 36 = 24$步，
长比宽多$36 - 24 = 12$步。
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12. 如图所示,在$□ ABCD$中,$\angle B= 60^{\circ}$,$BC= 2AB$,将AB绕点A逆时针旋转$\alpha(0^{\circ}＜\alpha＜360^{\circ})$得到AP,连接PC,PD. 当$\triangle PCD$为等腰三角形时,旋转角$\alpha$的大小为$60^{\circ}$或$300^{\circ}$.

答案： 1. 首先，设$AB = x$，则$BC = 2x$：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD=x$，$AD = BC = 2x$，$AB// CD$，$\angle B+\angle BCD = 180^{\circ}$，又$\angle B = 60^{\circ}$，所以$\angle BCD = 120^{\circ}$，$\angle ADC=\angle B = 60^{\circ}$，$AD = BC$，$AB = CD$。
由旋转知$AB = AP=x$。
2. 然后分三种情况讨论：
情况一：当$CP = CD$时**：
因为$CD = x$，所以$CP = x$。
又$AD = 2x$，$AP = x$，在$\triangle APD$中，$AP + CP\geqslant AC$（当$A$，$P$，$C$共线时取等号），$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cdot\cos B}=\sqrt{x^{2}+4x^{2}-2x\cdot2x\cdot\cos60^{\circ}}=\sqrt{3}x$（余弦定理：$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cdot\cos B$），$AP + CP=x + x = 2x\gt\sqrt{3}x$，这种情况不成立。
情况二：当$DP = CD$时**：
因为$CD = x$，所以$DP = x$。
因为$AD = 2x$，$AP = x$，$\cos\angle DAP=\frac{AP^{2}+AD^{2}-DP^{2}}{2AP\cdot AD}$（余弦定理：$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$，这里$a = DP$，$b = AD$，$c = AP$）。
把$AP = x$，$AD = 2x$，$DP = x$代入$\cos\angle DAP=\frac{x^{2}+4x^{2}-x^{2}}{2\cdot x\cdot2x}=\frac{3x^{2}}{4x^{2}}=\frac{3}{4}$，不满足特殊角的三角函数值。
情况三：当$PD = PC$时**：
过$P$作$PE\perp CD$于$E$，则$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}x$。
因为$AB// CD$，所以$\angle PCE=\angle BAP=\alpha$（当$AP$旋转到适当位置时）。
在$Rt\triangle PCE$中，$\cos\angle PCE=\frac{CE}{PC}$，又$PC = AP = x$，$CE=\frac{1}{2}x$，所以$\cos\angle PCE=\frac{1}{2}$。
因为$0^{\circ}\lt\alpha\lt360^{\circ}$，且$\angle PCE=\angle BAP$，所以$\alpha = 60^{\circ}$或$\alpha = 300^{\circ}$。
另一种方法：
当$P$在$AD$上方时：
因为$AB = AP$，$\angle B = 60^{\circ}$，$AD = BC = 2AB$。
若$\triangle PCD$是等腰三角形，当$PD = PC$时，$\triangle ABP$是等边三角形（$AB = AP$，$\angle BAP = 60^{\circ}$），所以$\alpha=\angle BAP = 60^{\circ}$。
当$P$在$AD$下方时：
因为$AB = AP$，$\angle BAP = 300^{\circ}$，$AD = 2AB$，$AB = CD$，$AP = CD$，$AD = BC$，$BC = AD$，$\angle ADC = 60^{\circ}$，$\angle DAP = 60^{\circ}$，$AP = AB = CD$，$AD = 2AP$，$\triangle APD$中，$PD = CD$（通过全等或余弦定理可证），此时$\alpha = 300^{\circ}$。
所以旋转角$\alpha$的大小为$60^{\circ}$或$300^{\circ}$。

13. 解关于x的方程.
(1)$x^{2}+2x= 0$；
(2)$x^{2}+2x-6= 0$.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的解法。
对于第一个方程 $x^{2}+2x=0$，可以通过因式分解法求解。
对于第二个方程 $x^{2}+2x-6=0$，由于常数项不为0且不易直接因式分解，可以使用公式法或者配方法求解，这里选择公式法。
【答案】：
(1) 解：
原方程为 $x^{2}+2x=0$，
提取公因式x，得 $x(x+2)=0$，
由此可得 $x=0$ 或 $x+2=0$，
解得 $x_{1}=0$，$x_{2}=-2$。
(2) 解：
原方程为 $x^{2}+2x-6=0$，
其中，$a=1$，$b=2$，$c=-6$，
计算判别式 $\Delta = b^{2}-4ac = 2^{2}-4×1×(-6) = 4+24 = 28$，
由于 $\Delta ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，
根据求根公式，得 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{2} = -1 \pm \sqrt{7}$，
解得 $x_{1}=-1+\sqrt{7}$，$x_{2}=-1-\sqrt{7}$。

14. 抛物线$y= ax^{2}+bx+c$上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表所示：
| x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| y | … | 8 | 0 | -4 | -4 | 0 | … |
(1)根据表格填空：抛物线经过点(3,8),在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.
(2)求抛物线$y= ax^{2}+bx+c$的解析式.
抛物线的解析式为$y = 2x^2 - 2x - 4$

答案： 【解析】：
(1)首先，观察表格中的数据，当$x = -1$和$x = 2$时，$y$值都为0，且它们的横坐标之和的一半为$\frac{-1+2}{2}=\frac{1}{2}$，可以推断出抛物线的对称轴为直线$x = \frac{1}{2}$（因为对称轴是顶点横坐标的坐标，而顶点横坐标是两个对称点的横坐标和的一半）。
接着，由于抛物线的对称性，当$x = -2$和$x = 3$时，它们的$y$值应该相等。从表格中查得，当$x = -2$时，$y = 8$，所以抛物线也经过点$(3,8)$。
再观察$y$的变化趋势，从$x=1$到$x=2$，$y$值从-4增大到0，由于抛物线关于对称轴对称，且开口向上（因为$a＞0$，可以通过代入三个点到$y=ax^2+bx+c$中解出$a,b,c$的值，从而判断$a$的符号），所以在对称轴的右侧，$y$随$x$的增大而增大。
(2)为了求出抛物线的解析式，我们可以选择表格中的三个点，例如$(-1,0)$，$(0,-4)$，$(2,0)$，代入$y = ax^2 + bx + c$中，得到三个方程：
$\begin{cases}a(-1)^2 + b(-1) + c = 0, \\a(0)^2 + b(0) + c = -4, \\a(2)^2 + b(2) + c = 0.\end{cases}$解这个方程组，我们得到：
$\begin{cases}a - b + c = 0, \\c = -4, \\4a + 2b + c = 0.\end{cases}$从第二个方程中，我们直接得到$c = -4$。
将$c = -4$代入第一个和第三个方程，我们得到：
$\begin{cases}a - b = 4, \\4a + 2b = 4.\end{cases}$解这个方程组，我们得到$a = 2$，$b = -2$。
所以，抛物线的解析式为$y = 2x^2 - 2x - 4$。
【答案】：
(1)8；增大
(2)抛物线的解析式为$y = 2x^2 - 2x - 4$