《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 二次函数$y= x^{2}+2x-3$的图象的对称轴是直线$x = -1$. 当$x$$＞ -1$时,$y随x$的增大而增大；抛物线$y= -2x^{2}+4x+5$的开口方向向下,顶点坐标是$(1,7)$；当$x= $$1$时,$y$有最大值为$7$.

答案： 【解析】：
本题主要考查二次函数的对称轴、单调性、开口方向、顶点坐标以及最值。
对于二次函数$y = ax^{2} + bx + c$，其对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$。
将给定的函数$y = x^{2} + 2x - 3$中的系数代入，可得对称轴为$x = -\frac{2}{2 × 1} = -1$，即直线$x = -1$。
由于二次项系数$a=1＞0$，所以抛物线开口向上，那么在对称轴右侧，函数值随$x$的增大而增大。
所以，当$x ＞ -1$时，$y$随$x$的增大而增大。
对于函数$y = -2x^{2} + 4x + 5$，由于其二次项系数$a = -2 ＜ 0$，所以抛物线的开口方向向下。
二次函数的顶点坐标可以通过公式$(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^{2}}{4a})$计算得到，
将给定的函数的系数代入，得到顶点坐标为$(1, 7)$。
由于抛物线开口向下，所以顶点处取得最大值。
因此，当$x = 1$时，$y$有最大值为$7$。
【答案】：
$x = -1$；$＞ -1$；下；$(1,7)$；$1$；大；$7$。

2. 设$A(-2,y_{1}),B(-1,y_{2}),C(5,y_{3})是抛物线y= x^{2}-2x+m$上的三点,则$y_{1},y_{2},y_{3}$用“＜”连接起来是______$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$.

答案： 解：抛物线$y = x^2 - 2x + m$的对称轴为直线$x = -\frac{-2}{2×1} = 1$。
点$A(-2,y_1)$到对称轴的距离为$| -2 - 1 | = 3$；
点$B(-1,y_2)$到对称轴的距离为$| -1 - 1 | = 2$；
点$C(5,y_3)$到对称轴的距离为$| 5 - 1 | = 4$。
因为抛物线开口向上，距离对称轴越近，函数值越小，且$2 ＜ 3 ＜ 4$，所以$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$

3. 已知二次函数$y= 4x^{2}-mx+5$,当$x＞-2$时,$y随x$的增大而增大；当$x＜-2$时,$y随x$的增大而减小. 当$x= 1$时,$y$的值为25.

答案： 解：
∵二次函数$y=4x^{2}-mx+5$，当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为直线$x=-2$。
∵二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，
∴$-\frac{-m}{2×4}=-2$，
解得$m=-16$。
∴二次函数的解析式为$y=4x^{2}+16x+5$。
当$x=1$时，$y=4×1^{2}+16×1+5=4 + 16 + 5=25$。
故答案为$25$。

4. 已知二次函数$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$的图象如图所示,下列结论:①$abc＞0$;②$a+b+c＜0$;③$b= 2a$;④$a+b＞0$. 其中正确的是①②③(填序号).

答案： 解：①由抛物线开口向下得$a＜0$，对称轴为直线$x=-1$即$-\frac{b}{2a}=-1$，得$b=2a＜0$，与$y$轴交于正半轴得$c＞0$，则$abc＞0$，正确；
②当$x=1$时，$y=a+b+c＜0$，正确；
③由对称轴$x=-1$得$-\frac{b}{2a}=-1$，即$b=2a$，正确；
④$a+b=a+2a=3a＜0$，错误。
正确的是①②③。

5. 如图所示,二次函数$y= (x-1)(x-a)$($a$为常数)的图象的对称轴为直线$x= 2$.
(1)求$a$的值.
(2)向下平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的解析式.

答案： 【解析】：
（1）本题可先将二次函数$y=(x - 1)(x - a)$化为一般式，再根据对称轴公式求出$a$的值。
步骤一：将二次函数化为一般式
已知$y=(x - 1)(x - a)$，根据多项式乘法法则将其展开可得：
$y=x^2-ax-x+a=x^2-(a + 1)x + a$
步骤二：根据对称轴公式求$a$的值
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$（$A\neq0$），其对称轴公式为$x=-\frac{B}{2A}$。
在二次函数$y=x^2-(a + 1)x + a$中，$A = 1$，$B=-(a + 1)$，已知对称轴为直线$x = 2$，代入对称轴公式可得：
$-\frac{-(a + 1)}{2×1}=2$
即$\frac{a + 1}{2}=2$，
两边同时乘以$2$得：$a + 1 = 4$，
移项可得：$a = 4 - 1 = 3$。
（2）本题可先根据（1）中$a$的值确定原二次函数的解析式，再根据平移的性质求出平移后图象所对应的二次函数的解析式。
步骤一：确定原二次函数的解析式
由（1）可知$a = 3$，将其代入$y=(x - 1)(x - a)$可得原二次函数的解析式为：
$y=(x - 1)(x - 3)=x^2-3x-x+3=x^2-4x+3$
步骤二：设平移后图象所对应的二次函数的解析式
设平移后图象所对应的二次函数的解析式为$y=x^2-4x+3+k$（$k\lt0$，因为向下平移）。
步骤三：根据平移后图象过原点求出$k$的值
因为平移后图象经过原点$(0,0)$，将$(0,0)$代入$y=x^2-4x+3+k$可得：
$0=0^2-4×0+3+k$
即$3 + k = 0$，
移项可得：$k = - 3$。
步骤四：写出平移后图象所对应的二次函数的解析式
将$k = - 3$代入$y=x^2-4x+3+k$可得：
$y=x^2-4x+3-3=x^2-4x$
【答案】：
(1)$a = 3$
(2)$y = x^2 - 4x$

6. 已知抛物线$y= ax^{2}-2ax-3+2a^{2}(a≠0)$.
(1)求这条抛物线的对称轴.
(2)若该抛物线的顶点在$x$轴上,求其解析式.
(3)若抛物线有最小值且与$y轴交于点(0,5)$,求其解析式.

答案：
(1)解：对于抛物线$y = ax^2 - 2ax - 3 + 2a^2$，对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2a}{2a} = 1$。
(2)解：由
(1)知对称轴为$x = 1$，将$x = 1$代入抛物线得顶点纵坐标为：
$y = a(1)^2 - 2a(1) - 3 + 2a^2 = 2a^2 - a - 3$。
因为顶点在$x$轴上，所以$2a^2 - a - 3 = 0$，
即$(2a - 3)(a + 1) = 0$，解得$a = \frac{3}{2}$或$a = -1$。
当$a = \frac{3}{2}$时，解析式为$y = \frac{3}{2}x^2 - 3x + \frac{3}{2}$；
当$a = -1$时，解析式为$y = -x^2 + 2x - 1$。
(3)解：因为抛物线有最小值，所以$a ＞ 0$。
抛物线与$y$轴交于点$(0,5)$，将$x = 0$，$y = 5$代入得：
$-3 + 2a^2 = 5$，$2a^2 = 8$，$a^2 = 4$，解得$a = 2$（$a = -2$舍去）。
所以解析式为$y = 2x^2 - 4x + 5$。