《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

17. 已知关于x的方程$x^{2}-2kx+k^{2}= 9$.
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根.
(2)若方程有一个根为2,试求$3k^{2}-12k+2025$的值.

答案： 【解析】：
(1) 对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。若 $\Delta ＞ 0$，则方程有两个不相等的实数根。
对于方程 $x^2 - 2kx + k^2 = 9$，可以转化为 $x^2 - 2kx + (k^2 - 9) = 0$，其中 $a = 1, b = -2k, c = k^2 - 9$。
计算判别式 $\Delta = (-2k)^2 - 4 × 1 × (k^2 - 9) = 4k^2 - 4k^2 + 36 = 36 ＞ 0$。
因为 $\Delta ＞ 0$，所以此方程有两个不相等的实数根。
(2) 若方程 $x^2 - 2kx + k^2 = 9$ 有一个根为 2，代入得 $2^2 - 2k × 2 + k^2 = 9$，即 $4 - 4k + k^2 = 9$，进一步化简得 $k^2 - 4k - 5 = 0$。
解此方程得 $k = 5$ 或 $k = -1$。
当 $k = 5$ 时，$3k^2 - 12k + 2025 = 3 × 5^2 - 12 × 5 + 2025 = 75 - 60 + 2025 = 2040$；
当 $k = -1$ 时，$3k^2 - 12k + 2025 = 3 × (-1)^2 - 12 × (-1) + 2025 = 3 + 12 + 2025 = 2040$。
所以 $3k^2 - 12k + 2025 = 2040$。
【答案】：
(1) 证明见解析，此方程有两个不相等的实数根。
(2) $3k^2 - 12k + 2025 = 2040$。

18. 某公园要在一个足够大的草地上规划出一个矩形草坪ABCD,矩形草坪ABCD的长AD为a m,宽AB为b m,并计划在草坪ABCD上种植两条宽均为x m的互相垂直的花带(图中阴影部分),且两条花带与矩形的边分别平行,余下的四块矩形草坪改为种植景观树.
(1)若$a= 26$,$b= 15$,且种植景观树的总面积为$312m^{2}$,则每条花带的宽为多少米？
(2)若$a:b= 2:1$,每条花带的宽均为2 m,且种植景观树的总面积为$312m^{2}$,求a,b的值.

答案： 1. （1）
解：
已知矩形草坪$ABCD$的长$AD = a=26m$，宽$AB = b = 15m$，花带宽$x m$。
种植景观树的面积$S=(a - x)(b - x)$。
把$a = 26$，$b = 15$，$S = 312$代入$(a - x)(b - x)=312$，得$(26 - x)(15 - x)=312$。
展开式子：
根据$(m - n)(p - n)=mp-mn - pn + n^{2}$，则$26×15-26x-15x + x^{2}=312$。
即$390-(26 + 15)x+x^{2}=312$。
整理得$x^{2}-41x + 390 - 312 = 0$，也就是$x^{2}-41x + 78 = 0$。
分解因式：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-41$，$c = 78$，$x^{2}-41x + 78=(x - 2)(x - 39)=0$。
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=39$。
因为$x\lt b$（花带宽度不能超过矩形的宽），$b = 15$，所以$x = 39$舍去。
所以每条花带的宽是$2m$。
2. （2）
解：
因为$a:b = 2:1$，所以$a = 2b$。
已知花带宽$x = 2m$，种植景观树的面积$S=(a - x)(b - x)=312$。
把$a = 2b$，$x = 2$代入$(a - x)(b - x)=312$，得$(2b-2)(b - 2)=312$。
展开式子：
根据$(m - n)(p - n)=mp-mn - pn + n^{2}$，$2b× b-2b×2-2b + 4 = 312$。
即$2b^{2}-4b-2b + 4 = 312$。
整理得$2b^{2}-6b-308 = 0$，两边同时除以$2$得$b^{2}-3b - 154 = 0$。
分解因式：
对于一元二次方程$b^{2}-3b - 154 = 0$，其中$a = 1$，$b=-3$，$c=-154$，根据求根公式$b=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，或分解因式$(b - 14)(b + 11)=0$。
解得$b_{1}=14$，$b_{2}=-11$（因为$b\gt0$，矩形的宽不能为负），所以$b = 14$。
当$b = 14$时：
因为$a = 2b$，所以$a = 2×14 = 28$。
综上，（1）每条花带的宽是$2m$；（2）$a = 28$，$b = 14$。

19. 【课本再现】
学校要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场. 根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛.
(1)①共有28场比赛；
②设比赛组织者邀请x个队参赛,每个队要与其他x-1个队各赛一场. 因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛. 所以一共比赛$\frac{1}{2}x(x-1)$场,列方程：$\frac{1}{2}x(x-1) = 28$.
【类比运用】
(2)参加一次聚会的每两人都要握手一次,所有人一共握了10次手,有多少人参加聚会？
设参加聚会的人数为$x$，则$\frac{1}{2}x(x-1) = 10$，解得$x = 5$（负值舍去），所以有5人参加聚会。
【综合运用】
(3)将$A_{1},A_{2},A_{3},…,A_{n}$共n个点,每两个点连一条线段,共得到$y_{1}$条线段. 将$B_{1},B_{2},B_{3},…,B_{2n}$共2n个点,每两个点连一条线段,共得到$y_{2}$条线段.$\frac{y_{2}}{y_{1}}$能否为整数？写出你的结论,并说明理由.
$\frac{y_2}{y_1}$能为整数。理由：$y_1 = \frac{1}{2}n(n-1)$，$y_2 = n(2n-1)$，则$\frac{y_2}{y_1} = \frac{4n-2}{n-1} = 4 + \frac{2}{n-1}$，当$n-1$为2的因数，即$n=2$或$n=3$时，$\frac{y_2}{y_1}$为整数。

答案： 【解析】：
(1)
①根据题意，7天每天4场比赛，所以共有$7 × 4 = 28$场比赛。
②设邀请$x$个队参赛，因为每两个队之间都要比赛一场，所以每个队要与其他$x-1$个队各赛一场。但这样计算会导致每场比赛被计算了两次（例如，甲队对乙队和乙队对甲队被计算为两场，但实际上是一场）。因此，总的比赛场数应该是$\frac{1}{2}x(x-1)$。
根据这个公式和题目给出的28场比赛，我们可以列出方程：$\frac{1}{2}x(x-1) = 28$。
(2)
设参加聚会的人数为$x$，则每两人握手一次，总的握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。
根据题意，这个次数等于10，所以我们有方程：$\frac{1}{2}x(x-1) = 10$。
(3)
对于$n$个点，每两个点连一条线段，总的线段数为$\frac{1}{2}n(n-1)$，即$y_1 = \frac{1}{2}n(n-1)$。
对于$2n$个点，每两个点连一条线段，总的线段数为$\frac{1}{2} × 2n(2n-1) = n(2n-1)$，即$y_2 = n(2n-1)$。
所以，$\frac{y_2}{y_1} = \frac{n(2n-1)}{\frac{1}{2}n(n-1)} = \frac{4n-2}{n-1} = 4 + \frac{2}{n-1}$。
要使$\frac{y_2}{y_1}$为整数，则$\frac{2}{n-1}$必须为整数，即$n-1$只能是2的因数（1或2）。但$n$代表点的数量，它应该是一个大于1的整数，所以$n-1=1$或$n-1=2$，从而$n=2$或$n=3$。当$n=2$时，$\frac{y_2}{y_1}=6$；当$n=3$时，$\frac{y_2}{y_1}=5$。所以，当$n=2$或$n=3$时，$\frac{y_2}{y_1}$为整数。
【答案】：
(1)
①28
②$x-1$；$\frac{1}{2}x(x-1)$；$\frac{1}{2}x(x-1) = 28$
(2)
设参加聚会的人数为$x$，
则$\frac{1}{2}x(x-1) = 10$，
解得$x = 5$（负值舍去），
所以有5人参加聚会。
(3)
$\frac{y_2}{y_1}$能为整数，理由如上。