《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 若反比例函数的图象经过点$(-1,2)$,则它的解析式是$y = -\frac{2}{x}$.

答案： 解：设反比例函数的解析式为$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$。
因为函数图象经过点$(-1,2)$，所以将$x = -1$，$y = 2$代入解析式得：$2 = \frac{k}{-1}$，解得$k = -2$。
故反比例函数的解析式为$y = -\frac{2}{x}$。
$y = -\frac{2}{x}$

2. 已知反比例函数$y= \frac{3}{x}$,有下列说法：①其图象经过点$(-3,-1)$；②其图象分别位于第一、第三象限；③y 随 x 的增大而增大；④当$x＞1$时,$y＞3$.其中正确的是____①②(填序号).

答案： 【解析】：
本题主要考察反比例函数$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k \neq 0$）的性质。
① 对于反比例函数$y= \frac{3}{x}$，
当$x = -3$时，$y = \frac{3}{-3} = -1$，
所以其图象经过点$(-3, -1)$，故①正确；
② 由于反比例函数$y= \frac{3}{x}$中的$k = 3 ＞ 0$，
根据反比例函数的性质，其图象会分别位于第一、第三象限，故②正确；
③ 对于反比例函数，
当$k ＞ 0$时，在每一个象限内，$y$的值会随着$x$的增大而减小，与题目中的“$y$随$x$的增大而增大”相反，故③错误；
④ 对于反比例函数$y= \frac{3}{x}$，
当$x = 1$时，$y = \frac{3}{1} = 3$，
由于$y$随$x$的增大而减小（在第一象限内），
所以当$x＞1$时，$y$的值会小于$3$，故④错误。
综上，正确的选项是①和②。
【答案】：
①②

3. 函数$y= -\frac{1}{x}$的图象在第二、四象限.

答案： 解：对于反比例函数$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\neq0$），当$k\lt0$时，函数图象在第二、四象限。
在函数$y = -\frac{1}{x}$中，$k=-1\lt0$，所以该函数的图象在第二、四象限。
答案：第二、四

4. 已知反比例函数$y= \frac{k-2}{x}$.
(1)若其图象位于第二、四象限,则 k 的取值范围是$k＜ 2$.
(2)当$x＜0$时,y 随 x 增大而减小,则 k 的取值范围是$k＞ 2$.

答案： 【解析】：
本题主要考查反比例函数的性质。
对于反比例函数$y= \frac{k-2}{x}$，其图象的位置和单调性取决于分子$k-2$的符号。
(1)若其图象位于第二、四象限，则$k-2＜ 0$，从而得出$k$的取值范围。
(2)当$x＜0$时，$y$随$x$增大而减小，说明在$x＜0$的区间内，函数是单调递减的。这要求分子$k-2＞ 0$，从而得出$k$的取值范围。
【答案】：
(1)解：
∵反比例函数$y= \frac{k-2}{x}$的图象位于第二、四象限，
∴$k-2＜ 0$，
∴$k＜ 2$，
即$k$的取值范围是$k＜ 2$。
(2)解：
∵当$x＜0$时，$y$随$x$增大而减小，
∴反比例函数$y= \frac{k-2}{x}$在$x＜0$的区间内是单调递减的，
∴$k-2＞ 0$，
∴$k＞ 2$，
即$k$的取值范围是$k＞ 2$。

5. 若函数$y= \frac{k}{x}(k\neq0)$,当$x= -\frac{1}{2}$时,$y= 6$,则此函数的解析式为$y=-\frac{3}{x}$.

答案： 解：将$x=-\frac{1}{2}$，$y=6$代入$y=\frac{k}{x}$，得$6=\frac{k}{-\frac{1}{2}}$，解得$k=6×(-\frac{1}{2})=-3$，故此函数的解析式为$y=-\frac{3}{x}$。

6. 若点$A(-1,y_1)$,$B(-2,y_2)$,$C(3,y_3)在反比例函数y= \frac{6}{x}$的图象上,则$y_1$,$y_2$,$y_3$的大小关系为$y_1\lt y_2\lt y_3$.

答案： 1. 首先，根据反比例函数$y = \frac{6}{x}$，求$y_1$，$y_2$，$y_3$的值：
当$x=-1$时，把$x = - 1$代入$y=\frac{6}{x}$，根据$y=\frac{k}{x}(k = 6)$，则$y_1=\frac{6}{-1}=-6$；
当$x=-2$时，把$x = - 2$代入$y=\frac{6}{x}$，则$y_2=\frac{6}{-2}=-3$；
当$x = 3$时，把$x = 3$代入$y=\frac{6}{x}$，则$y_3=\frac{6}{3}=2$。
2. 然后，比较$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小：
因为$-6\lt - 3\lt2$。
所以$y_1\lt y_2\lt y_3$。
故答案为：$y_1\lt y_2\lt y_3$。

7. 若反比例函数的图象经过点$(3,2)和(m,-2)$,则 m 的值是-3.

答案： 解：设反比例函数的解析式为$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$。
因为函数图象经过点$(3,2)$，所以$2 = \frac{k}{3}$，解得$k = 6$，即反比例函数解析式为$y = \frac{6}{x}$。
又因为图象经过点$(m,-2)$，所以$-2 = \frac{6}{m}$，解得$m = -3$。
$-3$

8. 如图所示,在平面直角坐标系中,菱形 ABOC 的顶点 A 在反比例函数$y= \frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上.若点 C 的坐标为$(4,3)$,则 k 的值为32.

答案： 1. 首先，根据菱形的性质：
菱形的四条边相等，即$AB = BO=OC = CA$。
已知点$C$的坐标为$(4,3)$，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，对于$O(0,0)$和$C(4,3)$，$OC=\sqrt{(4 - 0)^2+(3 - 0)^2}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5$。
2. 然后，因为$ABOC$是菱形：
设点$A$的坐标为$(x,y)$，由于$AB// OC$，$AB = OC = 5$，且$B$在$y$轴上，$A$的横坐标与$C$的横坐标相同（菱形对边平行且相等的性质），所以$x = 4$。
又因为$A$到$y$轴的距离（横坐标的绝对值）与$C$到$y$轴的距离相等，$A$的纵坐标$y$满足$y=3 + 5=8$（$A$在$C$的上方，$AB = OC = 5$，$B$在$y$轴上，根据菱形的平移性质）。
3. 最后，因为点$A(4,8)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\gt0,x\gt0)$的图象上：
把$x = 4$，$y = 8$代入$y=\frac{k}{x}$，根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k = xy$（$k$为常数）。
则$k=4×8 = 32$。
故$k$的值为$32$。

9. 若反比例函数的图象经过点$(a,b)$,则它的图象一定也经过点$(-a,-b)$.

答案： 解：设反比例函数的解析式为$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$。
因为函数图象经过点$(a,b)$，所以将$(a,b)$代入解析式可得$b = \frac{k}{a}$，则$k = ab$，即反比例函数解析式为$y = \frac{ab}{x}$。
若点$(x,y)$在该函数图象上，则$xy = ab$。
满足$xy = ab$的点有无数个，其中一个特殊点为$(-a,-b)$，因为$(-a) × (-b) = ab$。
故答案为：$(-a,-b)$（答案不唯一，只要横纵坐标乘积为$ab$即可）

10. 如图所示,已知正比例函数$y= k_1x(k_1\neq0)与反比例函数y= \frac{k_2}{x}(k_2\neq0)$的图象交于两点 M,N.若点 N 的坐标是$(-1,-2)$,则点 M 的坐标为(1,2).

答案： 【解析】：
本题考查正比例函数与反比例函数的交点问题。
正比例函数$y = k_1x(k_1\neq0)$的图象是一条经过原点的直线，反比例函数$y = \frac{k_2}{x}(k_2\neq0)$的图象是关于原点对称的双曲线。
已知两个函数图象交于$M$，$N$两点，因为正比例函数图象关于原点对称，反比例函数图象也关于原点对称，所以这两个交点关于原点对称。
关于原点对称的点的坐标特征是横、纵坐标都互为相反数。
已知点$N$的坐标是$(-1,-2)$，设点$M$的坐标为$(x,y)$，根据关于原点对称的点的坐标特征可得$x=-(-1)=1$，$y=-(-2)=2$，所以点$M$的坐标为$(1,2)$。
【答案】：
$(1,2)$

11. 已知反比例函数$y= \frac{k^2+1}{x}$.
(1)这个函数的图象分布在哪个象限？
(2)在函数图象的每一支上,y 随 x 的增大如何变化？

答案： 【解析】：
本题主要考查反比例函数的图象分布和单调性。
(1) 对于反比例函数$y= \frac{k^2+1}{x}$，首先确定$k^2+1$的符号。
由于$k^2$总是非负的，所以$k^2+1 ＞ 0$。
根据反比例函数的性质，当比例系数为正时，函数图象分布在第一、三象限。
(2) 接下来考察函数在每一支上的单调性。
对于反比例函数，当比例系数为正时，在第一象限内，随着$x$的增大，$y$的值会减小；
在第三象限内，随着$x$的增大（但仍然是负数），$y$的值也会减小（但仍然是负数）。
【答案】：
(1) 这个函数的图象分布在第一、三象限。
(2) 在函数图象的每一支上，$y$随$x$的增大而减小。