《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1.在半径为2的圆中,60°的圆心角所对的弧长为$\frac{2\pi}{3}$.

答案： 解：已知圆的半径$r = 2$，圆心角$n = 60°$。
根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$，可得：
$l=\frac{60×\pi×2}{180}=\frac{120\pi}{180}=\frac{2\pi}{3}$
故答案为：$\frac{2\pi}{3}$

2.如图所示,分别以正三角形的3个顶点为圆心,边长为半径画弧,三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形的边长为6 cm,则该莱洛三角形的周长为______6π cm.

答案： 【解析】：本题考查正三角形性质和弧长公式。
正三角形的三个内角均为$60^\circ$，所对的圆心角也为$60^\circ$。
弧长公式为$l = \frac{n\pi r}{180}$，其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为半径。
已知正三角形边长为6cm，即弧的半径$r = 6cm$，圆心角$n = 60^\circ$。
所以一段弧的长度为：
$\frac{60\pi × 6}{180} = 2\pi$（cm）。
莱洛三角形由三段这样的弧围成，所以其周长为：
$3 × 2\pi = 6\pi$（cm）。
【答案】：$6\pi$ cm。

3.如图所示,“甜筒”形ABC是由$\widehat{AB}$和两条长度相等的线段AC,BC围成.若AC= 2,$\widehat{AB}$为半圆,∠ACB= 60°,则$\widehat{AB}$的长是______.

答案： 解：
∵AC=BC=2，∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=2，
∵$\widehat{AB}$为半圆，
∴$\widehat{AB}$的直径为AB=2，半径r=1，
∴$\widehat{AB}$的长为πr=π×1=π。
故答案为：π。

4.如图所示,在△ABC中,AC= 4.若将△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△FGC,则图中阴影部分的面积为$\frac{4\pi}{3}$.

答案： 解：由旋转性质得，△ABC≌△FGC，∠ACF=30°，CF=AC=4。
阴影部分面积=S△FGC+S扇形ACF-S△ABC。
因为S△FGC=S△ABC，所以阴影部分面积=S扇形ACF。
S扇形ACF=$\frac{30\pi×4^2}{360}=\frac{4\pi}{3}$。
答案：$\frac{4\pi}{3}$

5.如图所示,在网格中,每个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC的三个顶点均在格点上$,△A_1B_1C$是由△ABC顺时针旋转得到的.
(1)求阴影部分的面积.
(2)求旋转过程中,点A经过的路径长.

答案： 1. （1）
首先求$AC$的长度：
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），在$\triangle ABC$中，$AC=\sqrt{3^{2}+4^{2}}$。
计算可得$AC = 5$。
观察图形可知，阴影部分面积$S_{阴影}=S_{扇形CAA_{1}}+S_{\triangle A_{1}B_{1}C}-S_{\triangle ABC}$。
因为$\triangle A_{1}B_{1}C$是由$\triangle ABC$旋转得到的，所以$S_{\triangle A_{1}B_{1}C}=S_{\triangle ABC}$。
那么$S_{阴影}=S_{扇形CAA_{1}}$。
由旋转可知$\angle ACA_{1}=90^{\circ}$（根据网格特点），根据扇形面积公式$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（$n$为圆心角，$r$为半径），这里$n = 90^{\circ}$，$r=AC = 5$。
所以$S_{阴影}=\frac{90\pi×5^{2}}{360}=\frac{25\pi}{4}$。
2. （2）
解：
点$A$经过的路径是以$C$为圆心，$AC$为半径的一段弧。
已知$AC = 5$，旋转角$\angle ACA_{1}=90^{\circ}$。
根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（$n$为圆心角，$r$为半径），这里$n = 90^{\circ}$，$r = 5$。
则点$A$经过的路径长$l=\frac{90\pi×5}{180}=\frac{5\pi}{2}$。
综上，（1）阴影部分面积为$\frac{25\pi}{4}$；（2）点$A$经过的路径长为$\frac{5\pi}{2}$。

6.如图所示,AB是⊙O的直径,C是⊙O外一点,AB= AC,连接BC,交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC,垂足为E.
(1)求证:DE与⊙O相切.
(2)若∠B= 30°,AB= 4,则图中阴影部分的面积是多少?

答案： 1. （1）证明：
连接$OD$。
因为$AB = AC$，所以$\angle B=\angle C$。
又因为$OB = OD$，所以$\angle B=\angle ODB$。
则$\angle ODB=\angle C$，所以$OD// AC$。
因为$DE\perp AC$，所以$DE\perp OD$。
又因为$OD$是$\odot O$的半径，所以$DE$与$\odot O$相切。
2. （2）
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$。
已知$\angle B = 30^{\circ}$，$AB = 4$，则$AD=\frac{1}{2}AB = 2$，$BD = 2\sqrt{3}$。
因为$AB = AC$，$AD\perp BC$，所以$BC = 2BD = 4\sqrt{3}$，$CD = BD = 2\sqrt{3}$。
因为$\angle C=\angle B = 30^{\circ}$，$DE\perp AC$，所以$DE=\frac{1}{2}CD=\sqrt{3}$，$CE = 3$。
$AE=AC - CE=4 - 3 = 1$。
扇形$AOD$的圆心角$\angle AOD = 180^{\circ}-2×30^{\circ}=120^{\circ}$。
$S_{扇形AOD}=\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}×\pi×(\frac{AB}{2})^2=\frac{1}{3}×\pi×2^2=\frac{4\pi}{3}$。
$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}× AE× DE=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
$S_{阴影}=S_{扇形AOD}+S_{\triangle ADE}=\frac{4\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$。
综上，（1）得证；（2）阴影部分面积为$\boldsymbol{\frac{4\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}}$。