《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

10. 如图所示,在△ABC中,∠C= 90°,以AC为直径的⊙O交AB于点D,点E在BC上,且BE= DE.
(1)求证：DE是⊙O的切线.
(2)试判断DE与BC的数量关系,并说明理由.
(3)若∠B= 30°,AB= 8$\sqrt{3}$,求阴影部分的面积(结果保留π).

答案：
(1)证明：连接OD，
∵AC为⊙O直径，
∴∠ADC=90°，∠ODC+∠ODA=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵BE=DE，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠OAD+∠B=90°，
∴∠ODA+∠EDB=90°，
∴∠ODE=180°-90°=90°，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线.
(2)解：DE=1/2BC，理由如下：
连接CD，
∵AC为⊙O直径，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=90°，
∴BC是⊙O切线，
∵DE是⊙O切线，
∴DE=CE，
∵BE=DE，
∴BE=CE，
∴DE=CE=BE=1/2BC.
(3)解：
∵∠B=30°，AB=8√3，∠C=90°，
∴AC=1/2AB=4√3，BC=AB·cos30°=8√3×√3/2=12，
∵OA=OC，
∴OC=1/2AC=2√3，
∵DE=1/2BC=6，
∵∠B=30°，BE=DE，
∴∠BDE=30°，∠DEC=180°-2×30°=120°，
∵∠ODE=∠OCE=90°，
∴四边形ODEC面积=梯形ODEC面积=1/2(OC+DE)·CE=1/2(2√3+6)×6=6√3+18，
扇形COD面积=120π×(2√3)²/360=120π×12/360=4π，
阴影部分面积=梯形ODEC面积-扇形COD面积=6√3+18-4π.

11. 【问题呈现】
阿基米德折弦定理：如图①所示,若AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BC＞AB,M是$\overset{\frown}{ABC}$的中点,则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD= DB+BA.下面是运用“截长法”证明CD= DB+BA的部分证明过程.

证明：如图②所示,在CD上截取CG= AB,连接MA,MB,MC和MG.
∵M是$\overset{\frown}{ABC}$的中点,
∴MA= MC.①
又∵∠A= ∠C,②
∴△MAB≌△MCG,③
∴MB= MG.
又∵MD⊥BC,∴BD= DG,
∴AB+BD= CG+DG,
即CD= DB+BA.
根据证明过程,分别写出以上步骤的理由：
①在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等,
②同弧所对的圆周角相等,
③SAS.
【理解运用】
如图①所示,AB,BC是⊙O的两条弦,AB= 4,BC= 6.若M是$\overset{\frown}{ABC}$的中点,MD⊥BC于点D,则BD=1.
【变式探究】
如图③所示,若M是$\overset{\frown}{AC}$的中点,【问题呈现】中的其他条件不变,判断CD,DB,BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明.
【实践应用】
根据你对阿基米德折弦定理的理解解答问题：如图④所示,BC是⊙O的直径,A是圆上一定点,D是圆上一动点,且满足∠DAC= 45°.若AB= 6,⊙O的半径为5,求AD的长.
【变式探究】
解：CD=DB-BA
证明：在DB上截取DG=CD，连接MA，MB，MC，MG
∵MD⊥BC，DG=CD
∴MG=MC
∵M是$\overset{\frown}{AC}$的中点
∴MA=MC
∴MA=MG
∵$\overset{\frown}{MC}=\overset{\frown}{MA}$
∴∠MBC=∠MBA
在△MAB和△MGB中
$\left\{\begin{array}{l} MA=MG \\ ∠MBA=∠MBC \\ MB=MB\end{array}\right.$
∴△MAB≌△MGB(SAS)
∴AB=BG
∵DG=CD，BG=AB
∴CD=DG=DB-BG=DB-BA
【实践应用】
解：连接AB，AC，过点C作CE⊥AD于点E
∵BC是⊙O的直径，⊙O的半径为5
∴BC=10，∠BAC=90°
在Rt△ABC中，AB=6
∴AC=$\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$
∵∠DAC=45°，CE⊥AD
∴△ACE是等腰直角三角形
∴AE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}AC=4\sqrt{2}$
∵∠ADC=∠ABC，∠AEC=∠BAC=90°
∴△AEC∽△BAC
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{DE}{AB}$
即$\frac{4\sqrt{2}}{8}=\frac{DE}{6}$
解得DE=$3\sqrt{2}$
当点D在$\overset{\frown}{ABC}$上时，AD=AE+DE=$4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=7\sqrt{2}$
当点D在$\overset{\frown}{AC}$上时，AD=AE-DE=$4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}$
∴AD的长为$7\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$

答案： 【问题呈现】
①在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
②同弧所对的圆周角相等
③SAS
【理解运用】
1
【变式探究】
解：CD=DB-BA
证明：在DB上截取DG=CD，连接MA，MB，MC，MG
∵MD⊥BC，DG=CD
∴MG=MC
∵M是$\overset{\frown}{AC}$的中点
∴MA=MC
∴MA=MG
∵$\overset{\frown}{MC}=\overset{\frown}{MA}$
∴∠MBC=∠MBA
在△MAB和△MGB中
$\left\{\begin{array}{l} MA=MG \\ ∠MBA=∠MBC \\ MB=MB\end{array}\right.$
∴△MAB≌△MGB(SAS)
∴AB=BG
∵DG=CD，BG=AB
∴CD=DG=DB-BG=DB-BA
【实践应用】
解：连接AB，AC，过点C作CE⊥AD于点E
∵BC是⊙O的直径，⊙O的半径为5
∴BC=10，∠BAC=90°
在Rt△ABC中，AB=6
∴AC=$\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$
∵∠DAC=45°，CE⊥AD
∴△ACE是等腰直角三角形
∴AE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}AC=4\sqrt{2}$
∵∠ADC=∠ABC，∠AEC=∠BAC=90°
∴△AEC∽△BAC
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{DE}{AB}$
即$\frac{4\sqrt{2}}{8}=\frac{DE}{6}$
解得DE=$3\sqrt{2}$
当点D在$\overset{\frown}{ABC}$上时，AD=AE+DE=$4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=7\sqrt{2}$
当点D在$\overset{\frown}{AC}$上时，AD=AE-DE=$4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}$
∴AD的长为$7\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$