《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$ 的两个根 $x_1$,$x_2$ 和系数 $a$,$b$,$c$ 的关系为$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

答案： 【解析】：
这道题目考查了一元二次方程的根与系数的关系，即韦达定理。对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（其中$a \neq 0$），其两个根$x_1$和$x_2$满足关系：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$。
【答案】：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$。

2. 若 $x_1$,$x_2$ 是一元二次方程 $x^2 - x - 1 = 0$ 的两个根,则 $x_1 + x_2 + x_1x_2 = $0.

答案： 解：对于一元二次方程 $x^2 - x - 1 = 0$，其中 $a = 1$，$b = -1$，$c = -1$。
由根与系数的关系得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{1} = 1$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1$。
则 $x_1 + x_2 + x_1x_2 = 1 + (-1) = 0$。
0

3. 若关于 $x$ 的方程 $x^2 - 2x - a = 0$ 的一个根是 $-1$,则 $a = $3,另一个根是3.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的解与系数的关系。
根据题目条件，方程 $x^2 - 2x - a = 0$ 的一个根是 $-1$。
根据一元二次方程的解的定义，将 $x = -1$ 代入方程，得到：
$(-1)^2 - 2(-1) - a = 0$
即：
$1 + 2 - a = 0$
解得：
$a = 3$
接下来，利用一元二次方程的根与系数的关系来求另一个根。
设方程 $x^2 - 2x - 3 = 0$ 的另一个根为 $x_1$，
根据根与系数的关系，有：
$x_1 + (-1) = -\frac{-2}{1} = 2$
解得：
$x_1 = 3$
【答案】：
$a = 3$；另一个根是 $3$。

4. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + (k + 1)x + k - 1 = 0$ 的两个根互为倒数,则 $k = $2.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其两个根 $x_1$ 和 $x_2$ 的乘积为 $\frac{c}{a}$。
由题意知，方程 $x^2 + (k + 1)x + k - 1 = 0$ 的两个根互为倒数，即 $x_1 \cdot x_2 = 1$。
根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有：
$x_1 \cdot x_2 = \frac{k - 1}{1} = k - 1$
由于 $x_1 \cdot x_2 = 1$，代入上式得：
$k - 1 = 1$
解得 $k = 2$。
但我们需要进一步验证这个解是否合法。
将 $k = 2$ 代入原方程 $x^2 + (k + 1)x + k - 1 = 0$，得到 $x^2 + 3x + 1 = 0$。
其判别式 $\Delta = 3^2 - 4 × 1 × 1 = 5 ＞ 0$，说明方程有两个不相等的实根，且它们的乘积为1（由根与系数的关系得出），满足题目条件。
【答案】：
$k = 2$

5. 以 1,4 两数为根的一元二次方程可以是$x^2 - 5x + 4 = 0$.

答案： 【解析】：
本题要求构造一个以1和4为根的一元二次方程。
根据一元二次方程的根与系数的关系，若一个一元二次方程的两个根为$x_1$和$x_2$，则这个方程可以表示为：
$a(x - x_1)(x - x_2) = 0$
其中a是不为0的常数。
在本题中，$x_1 = 1$，$x_2 = 4$，代入上述公式，得到方程：
$(x - 1)(x - 4) = 0$
这就是以1和4为根的一元二次方程。
为了得到标准形式的一元二次方程，我们可以将其展开：
$x^2 - 4x - x + 4 = 0$
即：
$x^2 - 5x + 4 = 0$
【答案】：
$x^2 - 5x + 4 = 0$

6. 若一元二次方程 $x^2 - 4x + 2 = 0$ 的两个根为 $x_1$,$x_2$,则 $x_1^2 - 4x_1 + 2x_1x_2$ 的值为______2.

答案： 解：
∵$x_1$是方程$x^2 - 4x + 2 = 0$的根，
∴$x_1^2 - 4x_1 + 2 = 0$，即$x_1^2 - 4x_1 = -2$。
由根与系数的关系，得$x_1x_2 = 2$。
∴$x_1^2 - 4x_1 + 2x_1x_2 = -2 + 2×2 = 2$。
答案：2

7. 已知 $x_1$,$x_2$ 是方程 $x^2 - 3x - 5 = 0$ 的两个根,不解方程,求下列各式的值.
(1) $x_1^2 + x_2^2$；(2) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$；(3) $x_1 - x_2$.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根与系数的关系以及代数式的变形和计算。
(1) 对于 $x_1^2 + x_2^2$，我们可以利用完全平方公式将其转化为 $(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，然后利用一元二次方程的根与系数的关系求出 $x_1 + x_2$ 和 $x_1x_2$，最后代入计算即可。
(2) 对于 $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$，我们可以先通分，得到 $\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$，然后同样利用一元二次方程的根与系数的关系求出 $x_1 + x_2$ 和 $x_1x_2$，最后代入计算即可。
(3) 对于 $x_1 - x_2$，我们可以先求出 $(x_1 - x_2)^2$，即 $(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，然后开方得到 $x_1 - x_2$ 的值，注意结果需要考虑到 $x_1$ 和 $x_2$ 的大小关系，因此结果有正负两个值。
【答案】：
(1)
解：由于 $x_1, x_2$ 是方程 $x^2 - 3x - 5 = 0$ 的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有 $x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = -5$。
因此，$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 3^2 - 2 × (-5) = 9 + 10 = 19$。
(2)
解：同样，由于 $x_1, x_2$ 是方程 $x^2 - 3x - 5 = 0$ 的两个根，我们有 $x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = -5$。
因此，$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{3}{-5} = -\frac{3}{5}$。
(3)
解：由于 $x_1, x_2$ 是方程 $x^2 - 3x - 5 = 0$ 的两个根，我们有 $x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = -5$。
因此，$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 3^2 - 4 × (-5) = 9 + 20 = 29$。
所以，$x_1 - x_2 = \pm \sqrt{29}$。

8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2x - 3m^2 = 0$.
(1) 求证：方程总有两个不相等的实数根.
(2) 若方程的两个实数根分别为 $\alpha$,$\beta$,且 $\alpha + 2\beta = 5$,求 $m$ 的值.

答案： 【解析】：
(1) 对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。若 $\Delta ＞ 0$，则方程有两个不相等的实数根。
对于方程 $x^2 - 2x - 3m^2 = 0$，其中 $a = 1, b = -2, c = -3m^2$。
计算判别式：
$\Delta = (-2)^2 - 4(1)(-3m^2) = 4 + 12m^2$
由于 $m^2$ 总是非负的，所以 $12m^2 \geq 0$，进而有 $\Delta = 4 + 12m^2 ＞ 0$。
因此，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 根据一元二次方程的根与系数的关系，对于方程 $ax^2 + bx + c = 0$，若其两个根为 $\alpha$ 和 $\beta$，则有：
$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$
$\alpha\beta = \frac{c}{a}$
对于方程 $x^2 - 2x - 3m^2 = 0$，其两个根 $\alpha$ 和 $\beta$ 满足：
$\alpha + \beta = 2$
$\alpha\beta = -3m^2$
又因为 $\alpha + 2\beta = 5$，我们可以得到以下方程组：
$\begin{cases}\alpha + \beta = 2 \\ \alpha + 2\beta = 5\end{cases}$
解这个方程组，得到：
从第二个方程中减去第一个方程，得：
$\beta = 3$
将 $\beta = 3$ 代入第一个方程，得：
$\alpha = -1$
将 $\alpha = -1$ 和 $\beta = 3$ 代入 $\alpha\beta = -3m^2$，得到：
$-3 = -3m^2$
解得 $m^2 = 1$，所以 $m = \pm 1$。
【答案】：
(1) 证明见解析，方程总有两个不相等的实数根。
(2) $m = \pm 1$。

9. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2(1 - m)x + m^2 = 0$.
(1) 若该方程有实数根,求 $m$ 的取值范围.
(2) 当 $m = -1$ 时,方程的根为 $x_1$,$x_2$,求 $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$ 的值.

答案： $(1)$ 求$m$的取值范围
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}-2(1 - m)x + m^{2}=0$中，$a = 1$，$b=-2(1 - m)$，$c = m^{2}$。
因为方程有实数根，所以$\Delta\geq0$。
$\Delta=\left[-2(1 - m)\right]^{2}-4×1× m^{2}\geq0$
$\begin{aligned}4(1 - 2m+m^{2})-4m^{2}&\geq0\\4-8m + 4m^{2}-4m^{2}&\geq0\\4-8m&\geq0\\-8m&\geq - 4\\m&\leq\frac{1}{2}\end{aligned}$
$(2)$ 求$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$的值
当$m = - 1$时，原方程为$x^{2}-2(1+1)x + 1 = 0$，即$x^{2}-4x + 1 = 0$。
由韦达定理可知，对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为$x_{1}$和$x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
在方程$x^{2}-4x + 1 = 0$中，$a = 1$，$b=-4$，$c = 1$，所以$x_{1}+x_{2}=4$，$x_{1}x_{2}=1$。
$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{2}^{2}+x_{1}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}$
将$x_{1}+x_{2}=4$，$x_{1}x_{2}=1$代入上式：
$\frac{4^{2}-2×1}{1}=\frac{16 - 2}{1}=14$
综上，答案依次为：$(1)$$m\leq\frac{1}{2}$；$(2)$$14$。