《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 如图所示,已知$AB// CD// EF$,它们依次交直线$l_1,l_2于点A,C,E和点B,D,F$。如果$AC:CE= 1:2$,$BF= 9$,那么$DF= $6。

答案： 【解析】：本题可根据平行线分线段成比例定理来求解$DF$的长度。
已知$AB// CD// EF$，根据平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
所以可得$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$。
题目中已给出$AC:CE = 1:2$，即$\frac{AC}{CE}=\frac{1}{2}$，$BF = 9$，而$BF=BD + DF$，设$BD=x$，则$DF = 9 - x$。
将$\frac{AC}{CE}=\frac{1}{2}$，$BD=x$，$DF = 9 - x$代入$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$中，可得$\frac{x}{9 - x}=\frac{1}{2}$。
接下来求解上述方程：
$\begin{aligned}2x&=9 - x\\2x+x&=9\\3x&=9\\x&=3\end{aligned}$
即$BD = 3$，那么$DF=BF - BD=9 - 3 = 6$。
【答案】：$6$

2. 如图所示,$AB,CD相交于点O$,$OC= 2$,$OD= 3$,$AC// BD$。若$EF是\triangle ODB$的中位线,且$EF= 2$,则$AC$的长为______$\frac{8}{3}$。

答案： 解：
∵EF是△ODB的中位线，EF=2
∴EF = $\frac{1}{2}$BD
∴BD = 2EF = 4
∵AC//BD
∴△AOC∽△BOD
∴$\frac{AC}{BD} = \frac{OC}{OD}$
∵OC=2，OD=3，BD=4
∴$\frac{AC}{4} = \frac{2}{3}$
∴AC = $\frac{8}{3}$
答案：$\frac{8}{3}$

3. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$DE// BC$,$\frac{AD}{DB}= \frac{2}{3}$。若$AC= 6$,则$EC= $$\frac{18}{5}$。

答案： 解：
∵DE//BC
∴△ADE∽△ABC
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
∵$\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}$，设AD=2k，DB=3k（k≠0）
则AB=AD+DB=5k
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{2k}{5k}=\frac{2}{5}$
∵AC=6
∴$\frac{AE}{6}=\frac{2}{5}$
∴AE=$\frac{12}{5}$
∴EC=AC-AE=6-$\frac{12}{5}=\frac{18}{5}$
$\frac{18}{5}$

4. 一个三角形的三边长分别为$8\ cm$,$6\ cm$,$12\ cm$。若另一个与它相似的三角形的最短边长为$3\ cm$,则其余两边长分别为$4\ cm$，$6\ cm$。

答案： 解：设另一个三角形的其余两边长分别为$x\ cm$，$y\ cm$。
已知原三角形三边长为$6\ cm$，$8\ cm$，$12\ cm$（按从小到大排序），相似三角形最短边长为$3\ cm$。
因为两三角形相似，所以对应边成比例，相似比为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
则$\frac{x}{8}=\frac{1}{2}$，解得$x = 4$；$\frac{y}{12}=\frac{1}{2}$，解得$y = 6$。
其余两边长分别为$4\ cm$，$6\ cm$。

5. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AD是\angle BAC$的平分线,$DE// AC交AB于点E$。若$AB= 12$,$AC= 8$,则$DE= $$\frac{24}{5}$。

答案： 解：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD。
∵DE//AC，
∴∠EDA=∠CAD，∠BED=∠BAC，∠BDE=∠BCA。
∴∠BAD=∠EDA。
∴AE=DE。
∵DE//AC，
∴△BDE∽△BCA。
∴$\frac{BE}{BA}=\frac{DE}{CA}$。
设DE=AE=x，则BE=AB-AE=12-x。
∴$\frac{12 - x}{12}=\frac{x}{8}$。
解得x=$\frac{24}{5}$。
即DE=$\frac{24}{5}$。
$\frac{24}{5}$

6. 如图所示,若$AD// EF// BC$,则图中的相似三角形共有3对。

答案： 1. 首先明确相似三角形的判定定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2. 然后根据$AD// EF// BC$进行分析：
因为$EF// BC$，根据上述判定定理，在$\triangle ABC$中，$\triangle AEF\sim\triangle ABC$（$EF$平行于$\triangle ABC$的边$BC$，与$AB$、$AC$相交）。
因为$EF// AD$，在$\triangle ABD$中，$\triangle BEF\sim\triangle BAD$（$EF$平行于$\triangle BAD$的边$AD$，与$BA$、$BD$相交）。
因为$AD// BC$，在$\triangle AOD$和$\triangle COB$中，$\angle OAD=\angle OCB$，$\angle ODA=\angle OBC$（两直线平行，内错角相等），$\angle AOD = \angle BOC$（对顶角相等），所以$\triangle AOD\sim\triangle COB$。
所以图中的相似三角形共有$3$对。

7. 如图所示,在平行四边形$ABCD$中,连接对角线$AC$,延长$AB至点E$,使$BE= AB$,连接$DE$,分别交$BC,AC于点F,G$。
(1)求证：$BF= CF$。
(2)若$DG= 4$,求$FG$的长。

27.2.1 相似三角形的判定(二)

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD。
∵BE=AB，
∴AE=AB+BE=2AB。
∵AD//BC，
∴△EBF∽△EAD。
∴$\frac{BF}{AD}=\frac{EB}{EA}$。
∵EB=AB，EA=2AB，
∴$\frac{EB}{EA}=\frac{AB}{2AB}=\frac{1}{2}$。
∴$\frac{BF}{AD}=\frac{1}{2}$，即BF=$\frac{1}{2}$AD。
∵AD=BC，
∴BF=$\frac{1}{2}$BC。
∴BF=CF。
(2)解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD。
∵BE=AB，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{1}{2}$。
∵AB//CD，
∴△AGE∽△CGD。
∴$\frac{AG}{CG}=\frac{EG}{DG}=\frac{AE}{CD}$。
∵AB=CD，AE=2AB，
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{2AB}{AB}=2$。
∴$\frac{EG}{DG}=2$。
∵DG=4，
∴EG=2DG=8。
∵ED=EG+DG=8+4=12，
由
(1)知BF=CF，即F是BC中点，
又
∵AD//BC，△EBF∽△EAD，且$\frac{BF}{AD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EF}{ED}=\frac{1}{2}$，即EF=$\frac{1}{2}$ED=6。
∴FG=EG-EF=8-6=2。