《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 若$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$,且$AB= 4\ cm$,$BC= 5\ cm$,$DE= 8\ cm$,$DF= 12\ cm$,则$AC= $6$cm$,$EF= $10$cm$。

答案： 【解析】：
本题主要考查相似三角形的性质，即相似三角形的对应边之间的比例关系。
已知$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$，表示两个三角形是相似的，且给出了$AB, BC, DE, DF$的长度。
根据相似三角形的性质，有$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$。
可以利用这个性质来找出$AC$和$EF$的长度。
【答案】：
解：
∵ $\triangle ABC \backsim \triangle DEF$，
∴ 有比例关系 $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$，
根据已知，$AB = 4\ cm$, $BC = 5\ cm$, $DE = 8\ cm$, $DF = 12\ cm$，
所以，可以得到以下比例式：
$\frac{4}{8} = \frac{5}{EF} = \frac{AC}{12}$，
解这个比例关系，得到：
$EF = \frac{5 × 8}{4} = 10\ cm$，
$AC = \frac{4 × 12}{8} = 6\ cm$，
故 $AC = 6\ cm$，$EF = 10\ cm$。

2. 如图所示,要使$\triangle AOB\backsim\triangle COD$,还需添加的一个条件是$\angle A = \angle C$（答案不唯一）(写出一个即可)。

答案： 【解析】：
本题考查了相似三角形的判定定理，根据判定定理添加条件即可。
我们需要添加一个条件使得$\triangle AOB$和$\triangle COD$相似。
根据相似三角形的判定定理，如果两个三角形的对应角相等，或者对应边成比例，那么这两个三角形相似。
观察图形，我们可以发现$\angle AOB$和$\angle COD$是对顶角，所以它们相等，
为了使$\triangle AOB$和$\triangle COD$相似，我们还需要一个条件，
可以选择添加$\angle A=\angle C$（对应角相等），或者添加$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$（对应边成比例）。
【答案】：
$\angle A = \angle C$（答案不唯一）。

3. 在$\triangle ABC$中,$AB= 4$,$AC= 6$,点$D在边AB$上,点$E在边AC$上,且$AE= 2$。若以$A,D,E为顶点的三角形与\triangle ABC$相似,则$AD= $$\frac{4}{3}$或$3$。

答案： 解：
情况一：当$\triangle ADE \sim \triangle ABC$时，
$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$，
$\frac{AD}{4} = \frac{2}{6}$，
解得$AD = \frac{4}{3}$。
情况二：当$\triangle AED \sim \triangle ABC$时，
$\frac{AE}{AB} = \frac{AD}{AC}$，
$\frac{2}{4} = \frac{AD}{6}$，
解得$AD = 3$。
综上，$AD = \frac{4}{3}$或$3$。

4. 如图所示,$\angle ACB= \angle ADC= 90^\circ$,$BC= 3$,$AC= 4$。若$\triangle ABC\backsim\triangle ACD$,则$CD= $$\frac{12}{5}$。

答案： 解：
∵△ABC∽△ACD，∠ACB=∠ADC=90°
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$
在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，∠ACB=90°
∴AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{AC}$，即$\frac{3}{CD}=\frac{5}{4}$
解得CD=$\frac{12}{5}$
$\frac{12}{5}$

5. 如图所示,四边形$ABCD$,$CDEF$,$EFGH$都是正方形。
(1)求证：$\triangle ACF\backsim\triangle GCA$。
(2)求$\angle1+\angle2$的大小。

答案： 【解析】：
(1) 要证明两个三角形相似，可以通过证明它们的对应角相等或者对应边成比例。在本题中，可以通过正方形的性质和角度关系来证明$\triangle ACF$和$\triangle GCA$相似。
(2) 要求$\angle 1 + \angle 2$的大小，可以通过相似三角形的性质和角度关系来求解。
(1)证明：
∵四边形$ABCD$、$CDEF$、$EFGH$都是正方形，
设正方形的边长为$a$，
则$AC=\sqrt{2}a$，$CF=a$，$CG=\sqrt{2}× 2a=2\sqrt{2}a$，
∴$\frac{AC}{CG}=\frac{\sqrt{2}a}{2\sqrt{2}a}=\frac{1}{2}$，$\frac{CF}{AC}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AC}{CG}=\frac{CF}{AC}$，
又
∵$\angle ACF=\angle GCA$（公共角），
∴$\triangle ACF\backsim\triangle GCA$（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）。
(2)
∵$\triangle ACF\backsim\triangle GCA$，
∴$\angle 1=\angle CAF$，
∵$\angle CAF+\angle 2=45^\circ$（正方形的一个角为$90^\circ$，对角线平分这个角，所以$\angle CAB=45^\circ$，而$\angle CAF$和$\angle 2$是$\angle CAB$被线段$CF$分割后的两个角之一），
∴$\angle 1+\angle 2=45^\circ$。
【答案】：
(1)证明过程如上；
(2)$\angle 1+\angle 2=45^\circ$。

6. 如图所示,在正方形$ABCD$中,$E,F分别是边AD,CD$上的点,$AE= ED$,$DF= \frac{1}{4}DC$,连接$EF并延长交BC的延长线于点G$。
(1)求证：$\triangle ABE\backsim\triangle DEF$。
(2)若正方形的边长为$4$,求$BG$的长。

27.2.1 相似三角形的判定(三)

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，AB=AD=CD。
∵AE=ED，
∴AE=ED=1/2AD=1/2AB，即AE/AB=1/2。
∵DF=1/4DC，
∴DF=1/4AB，ED=1/2AB，
∴DF/ED=1/2。
∴AE/AB=DF/ED，又∠A=∠D，
∴△ABE∽△DEF。
(2)解：
∵正方形边长为4，
∴AD=CD=4，BC=4。
∵AE=ED，
∴ED=2。
∵DF=1/4DC，
∴DF=1，FC=CD-DF=3。
∵AD//BG，
∴△EDF∽△GCF。
∴ED/GC=DF/FC，即2/GC=1/3，解得GC=6。
∴BG=BC+GC=4+6=10。