《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 在某时刻的阳光下,身高$160\ cm的小美的影长为80\ cm$。若她身旁的旗杆影长为$7\ m$,则旗杆高为14$m$。

答案： 解：设旗杆高为$x$米。
因为同一时刻，物体的高度和影长成正比，小美身高$160\ cm = 1.6\ m$，影长$80\ cm = 0.8\ m$，旗杆影长为$7\ m$，所以可得：
$\frac{1.6}{0.8} = \frac{x}{7}$
解得$x = 14$
答：旗杆高为$14\ m$。

2. 如图所示,小明想要利用平面镜来测量学校旗杆$CD$的高。他将镜子放置在距离旗杆底部$D点16\ m的点M$处,然后沿$DM方向后退直到从镜子中正好看到旗杆顶端C$点,此时测量镜子和小明之间的距离$BM长为2\ m$。若小明的眼睛距离地面的高度$AB是1.6\ m$,则旗杆$CD$的高为______$m$。

12.8

答案： 【解析】：本题可根据相似三角形的性质来求解旗杆的高度。
由于小明通过平面镜观察旗杆顶端，根据光的反射定律可知，入射角等于反射角，所以$\angle ABM = \angle CDM$，又因为$\angle AMB = \angle CMD$（对顶角相等），所以$\triangle ABM$和$\triangle CDM$相似。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例。即$\frac{AB}{CD}=\frac{BM}{DM}$，已知$AB = 1.6m$，$BM = 2m$，$DM = 16m$，将其代入比例式即可求出$CD$的长度。
【答案】：解：因为$\triangle ABM$和$\triangle CDM$相似，所以$\frac{AB}{CD}=\frac{BM}{DM}$。
已知$AB = 1.6m$，$BM = 2m$，$DM = 16m$，代入可得：
$\frac{1.6}{CD}=\frac{2}{16}$
$2CD=1.6×16$
$CD=\frac{1.6×16}{2}=12.8$（$m$）
所以旗杆$CD$的高为$12.8m$。

3. 我国古代数学著作《九章算术》中有“井深几何”问题：今有井径五尺,不知其深,立五尺木于井上,从木末望水岸,入径四寸,问井深几何。如图所示,可得井深$BC$为______尺。

57.5

答案： 1. 首先，根据相似三角形的判定定理：
由题意可知，$\triangle ABF\sim\triangle ACD$（因为$\angle ABF=\angle ACD = 90^{\circ}$，$\angle A=\angle A$，两角对应相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，即$\frac{AB}{AC}=\frac{BF}{CD}$。
2. 然后，设井深$BC = x$尺：
已知$AB = 5$尺，$BF = 0.4$尺，$CD = 5$尺，$AC=(x + 5)$尺。
代入相似三角形的比例式$\frac{AB}{AC}=\frac{BF}{CD}$，可得$\frac{5}{x + 5}=\frac{0.4}{5}$。
3. 接着，交叉 - 相乘求解方程：
根据比例的基本性质$a:b = c:d$（$b\neq0$，$d\neq0$），则$ad = bc$，所以$0.4(x + 5)=5×5$。
展开括号得$0.4x+2 = 25$。
移项得$0.4x=25 - 2$，即$0.4x=23$。
两边同时除以$0.4$，$x=\frac{23}{0.4}=\frac{230}{4}=57.5$。
所以井深$BC$为$57.5$尺。

4. 如图所示,已知某停车场入口处的栏杆的长臂$AO是12\ m$,短臂$BO是1.1\ m$。当长臂端点垂直升高$A'C为9\ m$时,短臂端点垂直下降了多少米(栏杆宽度忽略不计)？

答案： 【解析】：本题可根据相似三角形的性质来求解短臂端点垂直下降的高度。
由题意可知，$\angle ACO = \angle BDO = 90^{\circ}$，且$\angle AOC = \angle BOD$（对顶角相等）。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle AOC\sim\triangle BOD$。
根据相似三角形对应边成比例，可列出比例式，进而求出短臂端点垂直下降的高度。
【答案】：解：
∵$\angle ACO = \angle BDO = 90^{\circ}$，$\angle AOC = \angle BOD$
∴$\triangle AOC\sim\triangle BOD$
∴$\frac{AO}{BO}=\frac{AC}{BD}$
已知$AO = 12\ m$，$BO = 1.1\ m$，$AC = 9\ m$，代入上式可得：
$\frac{12}{1.1}=\frac{9}{BD}$
$12BD = 9×1.1$
$BD=\frac{9×1.1}{12}= 0.825$（$m$）
∴短臂端点垂直下降了$0.825$米。

5. 如图所示,小华和同伴秋游时,发现在某地小山坡的点$E$处有一棵小树,他们想利用皮尺、测倾器和平面镜测量小树到山脚下的距离(即$DE$的长)。小华站在点$B$处,让同伴移动平面镜至点$C$处,此时小华在平面镜内可以看到点$E$,且测得$BC= 6\ m$,$CD= 22\ m$,$\angle CDE= 135^\circ$($B,C,D$在同一直线上)。已知小华的眼睛距离地面的高度$AB为1.6\ m$。请根据以上数据,求$DE$的长(结果保留根号)。

 

答案： 1. 首先，作$EF\perp BD$于点$F$：
因为$\angle CDE = 135^{\circ}$，所以$\angle EDF=180^{\circ}-\angle CDE = 45^{\circ}$。
设$DE = x\ m$，在$Rt\triangle DEF$中，$\angle EDF = 45^{\circ}$，$\angle DFE = 90^{\circ}$，根据$\sin\angle EDF=\frac{EF}{DE}$，$\cos\angle EDF=\frac{DF}{DE}$，且$\sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$EF = DF=\frac{\sqrt{2}}{2}x\ m$。
所以$CF=(22 + \frac{\sqrt{2}}{2}x)\ m$。
2. 然后，根据反射定律可知$\angle ACB=\angle ECF$：
又因为$\angle ABC=\angle EFC = 90^{\circ}$，所以$\triangle ABC\sim\triangle EFC$。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，即$\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{CF}$。
已知$AB = 1.6\ m$，$BC = 6\ m$，$EF=\frac{\sqrt{2}}{2}x$，$CF=(22+\frac{\sqrt{2}}{2}x)$，代入比例式可得：
$\frac{1.6}{\frac{\sqrt{2}}{2}x}=\frac{6}{22 + \frac{\sqrt{2}}{2}x}$。
3. 接着，交叉 - 相乘化简方程：
$1.6×(22+\frac{\sqrt{2}}{2}x)=6×\frac{\sqrt{2}}{2}x$。
展开得$1.6×22+1.6×\frac{\sqrt{2}}{2}x = 3\sqrt{2}x$。
即$35.2+(0.8\sqrt{2})x=(3\sqrt{2})x$。
移项得$35.2=(3\sqrt{2}-0.8\sqrt{2})x$。
合并同类项得$35.2=(2.2\sqrt{2})x$。
4. 最后，求解$x$：
$x=\frac{35.2}{2.2\sqrt{2}}$。
化简$x=\frac{35.2×\sqrt{2}}{2.2\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{35.2\sqrt{2}}{4.4}=8\sqrt{2}$。
所以$DE$的长为$8\sqrt{2}\ m$。