《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 如图所示,在Rt△ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB于点D. 若AC= 8,BC= 6,则AD= ______6.4.

答案： 【解析】：本题可先根据勾股定理求出斜边$AB$的长度，再利用三角形面积公式求出$CD$的长度，最后在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理求出$AD$的长度，考查了勾股定理以及三角形面积公式的应用。
在$Rt\triangle ABC$中，$AC = 8$，$BC = 6$，根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，可得：
$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64 + 36}=\sqrt{100}=10$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），可得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，即$\frac{1}{2}× 8× 6=\frac{1}{2}× 10× CD$，
解得$CD = 4.8$。
在$Rt\triangle ACD$中，$AC = 8$，$CD = 4.8$，根据勾股定理$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}$，可得：
$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{8^{2}-4.8^{2}}=\sqrt{64 - 23.04}=\sqrt{40.96}=6.4$。
【答案】：$6.4$。

2. 如图所示,P为平行四边形ABCD的边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为$S,S_1,S_2. $若S= 2,则$S_1+S_2= $8.

答案： 解：
∵E，F分别为PB，PC的中点，
∴EF是△PBC的中位线，
∴EF//BC，EF=1/2BC，
∴△PEF∽△PBC，相似比为1/2，
∴S△PEF/S△PBC=(1/2)²=1/4，
∵S△PEF=S=2，
∴S△PBC=8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△PAB和△PDC的面积之和等于△PBC的面积，
即S₁+S₂=S△PBC=8.
8

3. 如图所示,△ABC内接于⊙O,AB= AC,∠BAC= 36°,过点A作AD//BC,与∠ABC的平分线交于点D,BD与AC交于点E,与⊙O交于点F,连接AF.
(1)求∠DAF的大小.
(2)求证：$AE^2= EF·ED.$
]

答案： $(1)$求$\angle DAF$的大小
- 因为$AB = AC$，$\angle BAC=36^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABC=\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)=\frac{1}{2}(180 - 36)^{\circ}=72^{\circ}$。
- 由于$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC = 36^{\circ}$。
- 因为$AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle D=\angle DBC = 36^{\circ}$。
- 又因为$\angle AFB=\angle ACB = 72^{\circ}$（同弧所对的圆周角相等），在$\triangle AFD$中，根据三角形外角性质$\angle AFB=\angle D+\angle DAF$，则$\angle DAF=\angle AFB-\angle D=72^{\circ}-36^{\circ}=36^{\circ}$。
$(2)$求证：$AE^{2}=EF\cdot ED$
- 解（证明）：
由$(1)$知$\angle DAF = 36^{\circ}$，$\angle ABD = 36^{\circ}$，$\angle FAC=\angle DBC = 36^{\circ}$，所以$\angle EAF=\angle D$。
又因为$\angle AEF=\angle DEA$（公共角）。
所以$\triangle AEF\sim\triangle DEA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，即$\frac{AE}{ED}=\frac{EF}{AE}$。
交叉相乘可得$AE^{2}=EF\cdot ED$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{36^{\circ}}$；$(2)$证明过程如上述。

4. 如图所示,在矩形ABCD中,AD= kAB(k＞0),E是线段CB延长线上的一个动点,连接AE,过点A作AF⊥AE交DC于点F.
(1)如图①所示,若k= 1,则AF与AE之间的数量关系是______AE = AF.
(2)如图②所示,若k≠1,试判断AF与AE之间的数量关系,写出结论并证明(用含k的式子表示).
AF = kAE，证明见上述解析过程。

答案： 【解析】：本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及位似图形的性质。
（1）当$k = 1$时，$AD = AB$。
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$\angle BAD = \angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ}$，$AB = CD$，$AD = BC$。
由于$AF\perp AE$，则$\angle EAF = 90^{\circ}$，所以$\angle EAB+\angle BAF = \angle BAF+\angle DAF = 90^{\circ}$，根据同角的余角相等，可得$\angle EAB=\angle DAF$。
又因为$\angle ABE = \angle ADF = 90^{\circ}$，$AB = AD$，根据“角边角”定理，可得$\triangle ABE\cong\triangle ADF$，所以$AE = AF$。
（2）若$k\neq1$，因为$AD = kAB$，设$AB = a$，则$AD = ka$。
由于$\angle EAF = 90^{\circ}$，$\angle BAD = 90^{\circ}$，所以$\angle EAB+\angle BAF = \angle BAF+\angle DAF = 90^{\circ}$，则$\angle EAB=\angle DAF$。
又因为$\angle ABE = \angle ADF = 90^{\circ}$，所以$\triangle ABE\sim\triangle ADF$。
根据相似三角形的性质，可得$\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AD}$，将$AD = kAB$代入，即$\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{kAB}=\frac{1}{k}$，所以$AF = kAE$。
【答案】：
(1)$AE = AF$；
(2)$AF = kAE$，证明见上述解析过程。