《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 解方程 $x^2 = 36$,根据平方根的定义,可得 $x= $$\pm 6$.

答案： 【解析】：
本题考查的是直接开平方法解一元二次方程。
给定方程 $x^2 = 36$，根据平方根的定义，如果 $a^2 = b$，那么 $a = \pm \sqrt{b}$。
应用这一性质到给定方程，可得 $x = \pm \sqrt{36}$。
进一步计算得 $x = \pm 6$。
【答案】：
根据平方根的定义，可得 $x = \pm 6$。
即 $x_1 = 6$，$x_2 = -6$。

2. 解一元二次方程 $(x - 3)^2 = 7$,可得根为$x_1 = 3 + \sqrt{7}$，$x_2 = 3 - \sqrt{7}$.

答案： 解：$(x - 3)^2 = 7$
两边开平方，得$x - 3 = \pm\sqrt{7}$
则$x = 3 \pm\sqrt{7}$
根为$x_1 = 3 + \sqrt{7}$，$x_2 = 3 - \sqrt{7}$

3. 下列方程中,一定有解的是______(填序号).
① $x^2 + 2 = 0$；② $x^2 + 2x - a = 0$；③ $y^2 + 2y = 5$；④ $(2 - x)^2 = 0$.③④

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的判别式以及方程的解的存在性。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数解；
当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数解；
当 $\Delta ＜ 0$ 时，方程没有实数解。
① $x^2 + 2 = 0$，
移项可得 $x^2 = -2$，
由于 $x^2$ 总是非负的，而 $-2$ 是负数，
所以这个方程没有实数解。
② $x^2 + 2x - a = 0$，
判别式为 $\Delta = 2^2 - 4 × 1 × (-a) = 4 + 4a$，
当 $a \geq -1$ 时，$\Delta \geq 0$，方程有实数解；
当 $a ＜ -1$ 时，$\Delta ＜ 0$，方程没有实数解。
由于 $a$ 的值不确定，所以不能确定方程是否有解。
③ $y^2 + 2y = 5$，
移项可得 $y^2 + 2y - 5 = 0$，
判别式为 $\Delta = 2^2 - 4 × 1 × (-5) = 4 + 20 = 24 ＞ 0$，
所以方程有两个不相等的实数解。
④ $(2 - x)^2 = 0$，
直接开平方可得 $2 - x = 0$，
解得 $x = 2$，
所以方程有一个实数解。
综上，一定有解的方程是 ③ 和 ④。
【答案】：
③④

4. 如果关于 $x$ 的方程 $(x - 9)^2 = m + 4$ 可以用直接开平方法求解,那么 $m$ 的取值范围是$m \geq -4$.

答案： 【解析】：
本题主要考察直接开平方法解一元二次方程的条件，即方程左侧为完全平方，右侧为非负数。
对于方程$(x - 9)^2 = m + 4$，其左侧已经是一个完全平方的形式，所以我们需要确定右侧的$m + 4$为非负数，以满足直接开平方法的条件。
因此，我们得到不等式：
$m + 4 \geq 0$
解这个不等式，我们得到：
$m \geq -4$
【答案】：
$m \geq -4$

5. 若关于 $x$ 的方程 $(x - 1)^2 = k^2 + 2$ 的一个根是 3,则 $k= $$\pm\sqrt{2}$,另一个根为$-1$.

答案： 解：将$x = 3$代入方程$(x - 1)^2 = k^2 + 2$，得
$(3 - 1)^2 = k^2 + 2$
$4 = k^2 + 2$
$k^2 = 2$
$k = \pm\sqrt{2}$
原方程为$(x - 1)^2 = 2 + 2 = 4$
$x - 1 = \pm2$
$x = 1 \pm 2$
所以方程的根为$x_1 = 3$，$x_2 = -1$
$k = \pm\sqrt{2}$，另一个根为$-1$

6. 解下列方程.
(1) $3x^2 = 27$；
(2) $4x^2 - 2 = 7$；
(3) $(x + 2)^2 - 25 = 0$；
(4) $\frac{1}{4}(2x + 3)^2 = -1$.

答案：
(1)解：$3x^2 = 27$
$x^2 = 9$
$x = \pm 3$
$\therefore x_1 = 3$，$x_2 = -3$
(2)解：$4x^2 - 2 = 7$
$4x^2 = 9$
$x^2 = \frac{9}{4}$
$x = \pm \frac{3}{2}$
$\therefore x_1 = \frac{3}{2}$，$x_2 = -\frac{3}{2}$
(3)解：$(x + 2)^2 - 25 = 0$
$(x + 2)^2 = 25$
$x + 2 = \pm 5$
$x + 2 = 5$ 或 $x + 2 = -5$
$\therefore x_1 = 3$，$x_2 = -7$
(4)解：$\frac{1}{4}(2x + 3)^2 = -1$
$(2x + 3)^2 = -4$
$\because$ 任何实数的平方都大于等于$0$，
$\therefore$ 原方程无实数根。

7. 已知三角形的两边长分别为 3 和 6,第三边的长是一元二次方程 $(x - 5)^2 - 4 = 0$ 的一个根,求三角形的周长.
21.2.1 配方法(二)

答案： 解：解方程$(x - 5)^2 - 4 = 0$
$(x - 5)^2 = 4$
$x - 5 = ±2$
$x = 5 ± 2$
$x_1 = 7$，$x_2 = 3$
当第三边为3时，$3 + 3 = 6$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
当第三边为7时，$3 + 6 ＞ 7$，$3 + 7 ＞ 6$，$6 + 7 ＞ 3$，满足三角形三边关系。
三角形周长为$3 + 6 + 7 = 16$
答：三角形的周长为16。