《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 如图所示,在$\odot O$中,弦有AC、CD,直径是CD,劣弧有$\overset{\frown}{AC}$、$\overset{\frown}{AD}$,优弧有$\overset{\frown}{ACD}$、$\overset{\frown}{CAD}$.

答案： 解：弦有AC、CD；直径是CD；劣弧有$\overset{\frown}{AC}$、$\overset{\frown}{AD}$；优弧有$\overset{\frown}{ACD}$、$\overset{\frown}{CAD}$。

2. 点$A,B在\odot O$上,若$\angle AOB= 40^\circ$,则$\angle OAB= $70°.

答案： 解：
∵点A，B在⊙O上，
∴OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形，∠OAB=∠OBA，
∵∠AOB=40°，
∴∠OAB=(180°-∠AOB)÷2=(180°-40°)÷2=70°.
故答案为：70°

3. 已知$AB是\odot O$的弦,若$\angle OAB= 50^\circ$,则$\angle AOB= $$80^\circ$.

答案： 解：在$\odot O$中，
$\because OA=OB$，
$\therefore \triangle OAB$是等腰三角形，$\angle OBA=\angle OAB=50^\circ$。
$\because \angle OAB+\angle OBA+\angle AOB=180^\circ$，
$\therefore \angle AOB=180^\circ - 50^\circ - 50^\circ = 80^\circ$。
$80^\circ$

4. 若$\odot O$的半径为6\ cm,则$\odot O$中最长弦的长为12$cm$.

答案： 解：圆中最长的弦是直径。
因为$\odot O$的半径为$6\ cm$，所以直径为$2×6 = 12\ cm$。
故答案为：12。

5. 如图所示,$AB是\odot O$的直径,点$C在\odot O$上,$CD\perp AB$,垂足为$D$. 若$CD= 4$,$OD= 3$,则$AB$的长是10.

答案： 解：连接OC。
因为AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，所以OC是⊙O的半径，设OC=OA=OB=r。
因为CD⊥AB，垂足为D，所以△CDO是直角三角形。
在Rt△CDO中，CD=4，OD=3，根据勾股定理得：OC²=CD²+OD²，即r²=4²+3²=16+9=25，解得r=5。
所以AB=2r=2×5=10。
10

6. 如图所示,$\odot O的半径是5$,$AC是\odot O$的弦,$B是\odot O上的一个异于A,C$的动点. 若$M,N分别是AC,BC$的中点,则$MN$的最大值是______5.

答案： 【解析】：本题可先根据三角形中位线定理得出$MN$与$AB$的关系，再结合圆的性质求出$MN$的最大值。
步骤一：根据三角形中位线定理得到$MN$与$AB$的关系
已知$M$，$N$分别是$AC$，$BC$的中点，在$\triangle ABC$中，根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
所以$MN$是$\triangle ABC$的中位线，则$MN=\frac{1}{2}AB$。
步骤二：分析$AB$的最大值
因为$B$是$\odot O$上的一个异于$A$，$C$的动点，$\odot O$的半径是$5$，根据圆的性质，圆上任意一点到圆心的距离都等于半径。
当$AB$为$\odot O$的直径时，$AB$取得最大值，此时$AB = 2×5 = 10$。
步骤三：求出$MN$的最大值
由$MN=\frac{1}{2}AB$，当$AB$取得最大值$10$时，$MN$也取得最大值，将$AB = 10$代入$MN=\frac{1}{2}AB$可得：
$MN=\frac{1}{2}×10 = 5$
【答案】：$5$

7. 如图所示,线段$AD过圆心O交\odot O于D,C$两点. 若$\angle EOD= 78^\circ$,$AE交\odot O于点B$,且$AB= OC$,求$\angle A$的大小.

答案： 解：连接OB。
∵OC，OB，OE均为⊙O的半径，
∴OC=OB=OE。
∵AB=OC，
∴AB=OB，
∴∠A=∠AOB。
设∠A=x，则∠AOB=x。
∵∠OBE是△AOB的外角，
∴∠OBE=∠A+∠AOB=2x。
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠OBE=2x。
在△AOE中，∠EOD是外角，
∠EOD=∠OEB+∠A，
即78°=2x+x，
解得x=26°，
∴∠A=26°。

8. 如图所示,$AB为\odot O$的直径,点$C,D在\odot O$上,$AC与OD交于点E$,$AE= EC$,$OE= ED$,连接$BC,CD$. 求证：
(1)$\triangle AOE\cong\triangle CDE$.
(2)四边形$OBCD$是菱形.

答案： 1. 证明$\triangle AOE\cong\triangle CDE$：
解：在$\triangle AOE$和$\triangle CDE$中，
已知$AE = EC$（条件给出），$\angle AEO=\angle CED$（对顶角相等），$OE = ED$（条件给出）。
根据$SAS$（边角边）判定定理：有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
所以$\triangle AOE\cong\triangle CDE(SAS)$。
2. 证明四边形$OBCD$是菱形：
解：
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
又因为$AE = EC$，$OA=OB$，所以$OE// BC$（三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边），且$BC = 2OE$。
由$\triangle AOE\cong\triangle CDE$，可得$OA = CD$。
因为$OA = OB = OC = OD$（圆的半径相等），且$OE = ED$，$AE = EC$，$\angle AEO=\angle CED$，$\triangle AOE\cong\triangle CDE$，所以$CD = OA$。
又$OB = OD$，$BC = 2OE$，$CD = 2ED$，$OE = ED$，所以$BC = CD$。
所以$OB = BC = CD = OD$。
根据菱形的判定定理：四条边都相等的四边形是菱形。
所以四边形$OBCD$是菱形。