《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 若⊙O的圆心在原点,半径为5,则点P(-3,-4)在⊙O __上__(填“外”“内”或“上”).

答案： 解：计算点P(-3,-4)到圆心O(0,0)的距离：
$OP = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
因为⊙O的半径为5，所以OP等于半径。
故点P在⊙O上。
上

2. 在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= 12,BC= 5,以点A为圆心作⊙A. 若要使B,C两点中的一点在圆外,另一点在圆内,则⊙A的半径长r的取值范围是12＜r＜13.

答案： 【解析】：
本题主要考查点和圆的位置关系。
在直角三角形$ABC$中，已知$\angle C= 90^{\circ}$，$AC= 12$，$BC= 5$。
根据勾股定理，可以求出斜边$AB$的长度：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$，
接下来，根据点和圆的位置关系：
如果点到圆心的距离小于半径，则点在圆内；
如果点到圆心的距离大于半径，则点在圆外；
如果点到圆心的距离等于半径，则点在圆上。
对于点$C$，其到点$A$的距离为$AC = 12$。
对于点$B$，其到点$A$的距离为$AB = 13$。
要使$B$，$C$两点中的一点在圆外，另一点在圆内，
则需要满足以下条件之一：
$AC ＜ r ＜ AB$，即点$C$在圆内，点$B$在圆外；
由于$AC = 12$，$AB = 13$，
所以$r$的取值范围应为$12 ＜ r ＜ 13$。
【答案】：
$12 ＜ r ＜ 13$。

3. 若⊙O内一点P到⊙O上的最近点的距离为1,最远点的距离为7,则⊙O的半径为4.

答案： 【解析】：
本题主要考查点和圆的位置关系。
设圆心$O$到点$P$的距离为$d$，圆的半径为$r$。
根据题意，点$P$到圆上最近点的距离为$r-d=1$，点$P$到圆上最远点的距离为$r+d=7$。
因此，可以建立方程组：
$\begin{cases}r - d = 1, \\r + d = 7.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{aligned}2r = 8, \\r = 4.\end{aligned}$
所以，圆$O$的半径为$4$。
【答案】：
$4$

4. 如图所示,在△ABC中,若点I是外心,∠ABC= 70°,∠ACB= 45°,则∠BIC= ______.

130°

答案： 解：在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-45°=65°.
∵点I是△ABC的外心，
∴∠BIC=2∠BAC=2×65°=130°.
故答案为130°.

5. 如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= BC= 2,以BC为直径的半圆交AB于点D,P是$\overset{\frown}{CD}$上的一个动点,连接AP,求AP的最小值.

答案： 解：设BC的中点为O，连接AO，交半圆于点P，此时AP最小。
∵BC为直径，BC=2，
∴OC=OB=1，O为BC中点。
在Rt△ACO中，∠ACO=90°，AC=2，OC=1，
∴AO=$\sqrt{AC^2 + OC^2}=\sqrt{2^2 + 1^2}=\sqrt{5}$。
∵OP=OC=1，
∴AP=AO - OP=$\sqrt{5}-1$。
答：AP的最小值为$\sqrt{5}-1$。

6. 已知⊙O是正三角形ABC的外接圆.
(1)如图①所示,若PC为⊙O的直径,连接AP,BP,求证：AP+BP= PC.
(2)如图②所示,若P是$\overset{\frown}{AB}$上任意一点,连接AP,BP,CP,则结论AP+BP= PC还成立吗？请证明.

答案：
(1)证明：
∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC=60°，
∵PC是⊙O直径，
∴∠PBC=∠PAC=90°，∠BPC=∠BAC=60°，∠APC=∠ABC=60°，在Rt△PBC中，BP=PC·cos60°=PC/2，在Rt△PAC中，AP=PC·cos60°=PC/2，
∴AP+BP=PC/2+PC/2=PC。
(2)成立。证明：在PC上截取PD=PA，连接AD，
∵△ABC是正三角形，
∴∠APC=∠ABC=60°，
∴△PAD是正三角形，
∴PA=AD，∠PAD=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠PAB=∠DAC，
∵AB=AC，
∴△PAB≌△DAC(SAS)，
∴BP=CD，
∵PC=PD+CD，PD=AP，
∴AP+BP=PC。