《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 下列命题是真命题的有①②③④(填序号)。
①顶角为$30^\circ$的两个等腰三角形相似；②有一个锐角为$20^\circ$的两个直角三角形相似；③顶角相等的等腰三角形相似；④所有的等边三角形都相似。

答案： 解：①顶角为$30^\circ$的两个等腰三角形，底角均为$(180^\circ - 30^\circ)÷2 = 75^\circ$，三个角对应相等，相似，是真命题；
②有一个锐角为$20^\circ$的两个直角三角形，另一个锐角为$70^\circ$，三个角对应相等，相似，是真命题；
③顶角相等的等腰三角形，底角也相等，三个角对应相等，相似，是真命题；
④所有等边三角形的三个角都是$60^\circ$，对应边成比例，相似，是真命题。
真命题的序号为：①②③④

2. 如图所示,锐角三角形$ABC的高BD,CE交于点O$,请写出图中与$\triangle BOE$相似的三角形：$\triangle BCD$（答案不唯一）(写出一个即可)。

答案： 【解析】：本题主要考查相似三角形的判定。
在$\triangle BOE$和$\triangle BCD$中，
$\angle BEC = \angle BDC = 90^\circ$（已知$CE$和$BD$是高）。
$\angle OBE=\angle DBC$（公共角）。
根据两角对应相等的两个三角形相似，可得$\triangle BOE\sim\triangle BCD$。
在$\triangle BOE$和$\triangle COD$中，
$\angle BEC = \angle BDC = 90^\circ$（已知$CE$和$BD$是高）。
$\angle BOE=\angle COD$（对顶角相等）。
根据两角对应相等的两个三角形相似，可得$\triangle BOE\sim\triangle COD$。
在$\triangle BOE$和$\triangle CAE$中，
$\angle BEC = \angle AEC = 90^\circ$（已知$CE$是高）。
$\angle BOE=\angle CAE$（同角的余角相等）。
根据两角对应相等的两个三角形相似，可得$\triangle BOE\sim\triangle CAE$。
故答案为：$\triangle BCD$（答案不唯一）。
【答案】：$\triangle BCD$（答案不唯一）。

3. 如图所示,在平行四边形$ABCD$中,$AB= 8\ cm$,$AD= 4\ cm$,$E为AD$的中点。在$AB上取一点F$,若使$\triangle CBF\backsim\triangle CDE$,则$AF= $7$cm$。

答案： 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=8cm，BC=AD=4cm，∠D=∠B。
∵E为AD中点，AD=4cm，
∴DE=AE=2cm。
∵△CBF∽△CDE，∠B=∠D，
∴分两种情况：
情况1： $\frac{CB}{CD}=\frac{BF}{DE}$
即 $\frac{4}{8}=\frac{BF}{2}$，解得 $BF=1$。
∴ $AF=AB-BF=8-1=7$cm。
情况2： $\frac{CB}{DE}=\frac{BF}{CD}$
即 $\frac{4}{2}=\frac{BF}{8}$，解得 $BF=16$。
∵AB=8cm，BF=16cm＞AB，不合题意，舍去。
综上，$AF=7$cm。
答案：7

4. 如图所示,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^\circ$,过点$C任作一直线l$,过点$A作AD\perp l于点D$,过点$B作BE\perp l于点E$。
(1)指出图中的一对相似三角形并证明。
$\triangle ACD\sim\triangle CBE$。证明：∵$AD \perp l$，$BE \perp l$，∴$\angle ADC=\angle CEB = 90^\circ$。∵$\angle ACB = 90^\circ$，∴$\angle ACD+\angle BCE=90^\circ$，又∵$\angle ACD+\angle CAD=90^\circ$，∴$\angle CAD=\angle BCE$。在$\triangle ACD$和$\triangle CBE$中，$\angle CAD=\angle BCE$，$\angle ADC=\angle CEB$，∴$\triangle ACD\sim\triangle CBE$。
(2)要使$\triangle ABC\backsim\triangle CBE$,需添加一个条件,这个条件可以是______(只要求写出一种情况即可)。
$AC/BC=BC/BE$

答案： 【解析】：
(1) 本题考查相似三角形的判定定理。在$Rt \triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^\circ$，$AD \perp l$，$BE \perp l$，所以$\angle ADC=\angle CEB=90^\circ$。由于$\angle ACB = 90^\circ$，所以$\angle ACD+\angle BCE=90^\circ$，又因为$\angle ACD+\angle CAD=90^\circ$，所以$\angle CAD=\angle BCE$。在$\triangle ACD$和$\triangle CBE$中，$\angle CAD=\angle BCE$，$\angle ADC=\angle CEB$，根据两角对应相等的两个三角形相似，可得$\triangle ACD\sim\triangle CBE$。
(2)本题考查相似三角形的判定定理。要使$\triangle ABC\sim\triangle CBE$，由于$\angle ABC=\angle CBE$（公共角），根据两角对应相等的两个三角形相似，可添加$\angle ACB=\angle CEB = 90^\circ$（已满足），再添加$\angle A=\angle BCE$（前面已证$\angle CAD=\angle BCE$，也可添加$\angle A=\angle CAD$ ，即$AC$平分$\angle BAD$ ），或者根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，添加$AC/BC=BC/BE$ 。这里只要求写出一种情况，所以可填$AC/BC=BC/BE$（答案不唯一）。
【答案】：
(1)$\triangle ACD\sim\triangle CBE$。证明：
∵$AD \perp l$，$BE \perp l$，
∴$\angle ADC=\angle CEB = 90^\circ$。
∵$\angle ACB = 90^\circ$，
∴$\angle ACD+\angle BCE=90^\circ$，又
∵$\angle ACD+\angle CAD=90^\circ$，
∴$\angle CAD=\angle BCE$。在$\triangle ACD$和$\triangle CBE$中，$\angle CAD=\angle BCE$，$\angle ADC=\angle CEB$，
∴$\triangle ACD\sim\triangle CBE$。
(2)$AC/BC=BC/BE$（答案不唯一）。

5. 如图所示，在菱形$ABCD$中，点$E,F$分别在边$AB,AD$上，$BE=DF$，$CE$的延长线交$DA$的延长线于点$G$，$CF$的延长线交$BA$的延长线于点$H$。求证：(1)$\triangle CDF\cong\triangle CBE$。(2)$BC^2=BE\cdot BH$。

 

答案： 【解析】：
本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的性质。
(1)证明$\triangle CDF\cong\triangle CBE$：
首先，由于ABCD是菱形，根据菱形的性质，我们知道$CD=CB$，且$\angle D = \angle B$。
又因为题目给出$BE=DF$，
所以，根据SAS（两边及夹角）全等判定，我们可以得出$\triangle CDF\cong\triangle CBE$。
(2)证明$BC^2=BE\cdot BH$：
由于$\triangle CDF\cong\triangle CBE$，根据全等三角形的对应角相等，我们有$\angle DCF = \angle BCE$。
又因为$\angle H = \angle DCF$（对顶角相等），所以$\angle H = \angle BCE$。
接着，由于$\angle B = \angle B$（公共角），且$\angle H = \angle BCE$，
根据相似三角形的判定，我们可以得出$\triangle BCE \sim \triangle BCH$。
最后，根据相似三角形的性质，对应边成比例，即$\frac{BC}{BE} = \frac{BH}{BC}$，
所以，$BC^2 = BE \cdot BH$。
【答案】：
(1)证明：
由于ABCD是菱形，所以$CD=CB$，且$\angle D = \angle B$。
又因为$BE=DF$，
所以，根据SAS全等判定，$\triangle CDF\cong\triangle CBE$。
(2)证明：
由于$\triangle CDF\cong\triangle CBE$，所以$\angle DCF = \angle BCE$。
又因为$\angle H = \angle DCF$（对顶角相等），所以$\angle H = \angle BCE$。
由于$\angle B = \angle B$（公共角），且$\angle H = \angle BCE$，
所以，根据相似三角形的判定，$\triangle BCE \sim \triangle BCH$。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，即$\frac{BC}{BE} = \frac{BH}{BC}$，
所以，$BC^2 = BE \cdot BH$。