《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

9. (6 分)用公式法解下列方程：
(1)$x^{2}-8x-5= 0$；
(2)$x(x - 4\sqrt{2})+8= 0$；
(3)$x(x + 6)= 2(x - 8)$.

答案： 解：
(1)这里a=1，b=-8，c=-5，
∵Δ=64+20=84，
∴x=$\frac{8±2\sqrt{21}}{2}$=4±$\sqrt{21}$，即x₁=4+$\sqrt{21}$，x₂=4-$\sqrt{21}$.
(2)方程整理，得x²-4$\sqrt{2}$x+8=0，这里a=1，b=-4$\sqrt{2}$，c=8.
∵Δ=32-32=0，
∴x=$\frac{4\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$，即x₁=x₂=2$\sqrt{2}$.
(3)方程整理，得x²+4x+16=0，这里a=1，b=4，c=16.
∵Δ=16-64=-48＜0，
∴此方程无实数根.

10. (3 分)(2024·自贡中考)关于$x的方程x^{2}+mx - 2= 0$根的情况是(A)
A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： A

11. (3 分)(2023·兰州中考)关于$x的一元二次方程x^{2}+bx+c= 0$有两个相等的实数根,则$b^{2}-2(1 + 2c)$的结果为(A)
A.-2
B.2
C.-4
D.4

答案： A

12. (3 分)(2023·广州中考)已知关于$x的方程x^{2}-(2k - 2)x+k^{2}-1= 0$有两个实数根,则$\sqrt{(k - 1)^{2}}-(\sqrt{2 - k})^{2}$的化简结果是(A)
A.-1
B.1
C.-1 - 2k
D.2k - 3

答案： A 解析：
∵关于x的方程x²-(2k-2)x+k²-1=0有两个实数根，
∴Δ=[-(2k-2)]²-4×1×(k²-1)≥0.整理，得-8k+8≥0.
∴k≤1.
∴k-1≤0，2-k＞0.
∴$\sqrt{(k-1)^2}$-($\sqrt{2-k}$)²=-(k-1)-(2-k)=-1.

13. (3 分)若关于$x的一元二次方程x^{2}-\sqrt{k + 1}\cdot x+1= 0$没有实数根,则$k$的取值范围是-1≤k＜3.

答案： -1≤k＜3 解析：
∵x²-$\sqrt{k+1}$·x+1=0没有实数根，
∴Δ＜0且k+1≥0，即($\sqrt{k+1}$)²-4＜0，解得k≥-1且k＜3.
∴-1≤k＜3.

14. (3 分)(2025·上海金山区质检)在计算正数$a$的平方时,某同学误算成$a$与 2 的积,求得的答案比正确答案小 1,那么正数$a$的值应该为1+$\sqrt{2}$.

答案： 1+$\sqrt{2}$

15. (12 分)(2025·安庆期末)发现思考：已知等腰三角形$ABC的两边分别是方程x^{2}-7x+10= 0$的两个根,求等腰三角形$ABC$三条边的长各是多少.下边是涵涵同学的作业,老师说他的做法有错误,请你找出错误之处并说明错误的原因.
涵涵的作业：
解：$x^{2}-7x+10= 0$.
$a = 1$,$b = -7$,$c = 10$.
$\because b^{2}-4ac = 9＞0$, ………….. ①
$\therefore x= \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}= \frac{7\pm3}{2}$. …… ②
$\therefore x_{1}= 5$,$x_{2}= 2$. ………………… ③
$\therefore$当腰为 5,底为 2 时,等腰三角形的三条边为 5,5,2. ………… ④
当腰为 2,底为 5 时,等腰三角形的三条边为 2,2,5. ……………… ⑤
(1)涵涵的作业错误的步骤是⑤(填序号),错误的原因是2，2，5不能构成三角形.
(2)探究应用：已知等腰三角形$ABC的一腰和底边的长是关于x的方程x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}= 0$的两个实数根.
①当$m = 2$时,求$\triangle ABC$的周长；
②当$\triangle ABC$为等边三角形时,求$m$的值.
(2)①当m=2时，方程为x²-2x+$\frac{3}{4}$=0，
∴x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{3}{2}$.当腰为$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$＜$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$不能构成三角形.当腰为$\frac{3}{2}$时，等腰三角形的三边为$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$，此时△ABC的周长为$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$.
∴当m=2时，△ABC的周长为$\frac{7}{2}$.②若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，
∴Δ=(-m)²-4($\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$)=m²-2m+1=0.
∴m₁=m₂=1.
∴当△ABC为等边三角形时，m的值为1.

答案： 解：
(1)⑤ 2，2，5不能构成三角形
(2)①当m=2时，方程为x²-2x+$\frac{3}{4}$=0，
∴x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{3}{2}$.当腰为$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$＜$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$不能构成三角形.当腰为$\frac{3}{2}$时，等腰三角形的三边为$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$，此时△ABC的周长为$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$.
∴当m=2时，△ABC的周长为$\frac{7}{2}$.②若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，
∴Δ=(-m)²-4($\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$)=m²-2m+1=0.
∴m₁=m₂=1.
∴当△ABC为等边三角形时，m的值为1.