《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

10. (11分)某种蔬菜的销售单价$y _ { 1 }$(元/千克)与销售月份$x$之间的关系如图(1)所示,成本$y _ { 2 }$(元/千克)与销售月份$x$(月)之间的关系如图(2)所示,图(1)的图象是线段,图(2)的图象是抛物线.
(1)已知6月这种蔬菜的成本最低,此时出售每千克的利润是多少元？(利润$=售价-$成本)
(2)设每千克该蔬菜销售利润为$P$,请列出$x与P$之间的关系式,并求出哪个月出售这种蔬菜每千克的利润最大,最大利润是多少.

答案：
(1)当x=6时，y₁=3，y₂=1.
∵y₁-y₂=3-1=2，
∴6月出售这种蔬菜每千克的利润是2元.
(2)设y₁=mx+n，y₂=a(x-6)²+1. 将(3，5)，(6，3)代入y₁=mx+n， 得{3m+n=5,6m+n=3,解得{m=-2/3,n=7.
∴y₁=-2/3x+7. 将(3，4)代入y₂=a(x-6)²+1，得4=a(3-6)²+1，解得a=1/3.
∴y₂=1/3(x-6)²+1=1/3x²-4x+13.
∴P=y₁-y₂=-2/3x+7-(1/3x²-4x+13)=-1/3x²+10/3x-6=-1/3(x-5)²+7/3.
∵-1/3＜0，
∴当x=5时，P取最大值，最大值为7/3， 即5月出售这种蔬菜每千克的利润最大，最大利润是7/3元/千克.

11. (12分)(2025·黄冈模拟)某公司生产一种健身产品在市场上很受欢迎,该公司每年的产量为6万件,可在国内和国外两个市场全部销售.若在国外销售,平均每件产品的利润$y _ { 1 }$(元)与国外销售量$x$(万件)的函数解析式为$y _ { 1 } = \left\{ \begin{array} { l } { 100 ( 0 ＜ x \leqslant 2 ) , } \\ { - 2 x + 104 ( 2 ＜ x \leqslant 6 ) . } \end{array} \right.$若在国内销售,平均每件产品的利润为$y _ { 2 } = 84$元.
(1)求该公司每年在国内和国外销售的总利润$w$(万元)与国外销售量$x$(万件)的函数解析式,并指出$x$的取值范围.
(2)该公司每年在国内、国外销售量各为多少时,可使公司每年的总利润最大？最大利润是多少？
(3)该公司计划从国外销售的每件产品中捐出$2m ( 1 \leqslant m \leqslant 4 )$元给希望工程,从国内销售的每件产品中捐出$m$元给希望工程,且国内销售不低于4万件,若这时国内、国外销售的总利润的最大值为520万元,求$m$的值.

答案：
(1)w=y₁·x+84(6-x). 当0＜x≤2时，w=100x+84(6-x)=16x+504； 当2＜x≤6时，w=x(-2x+104)+84(6-x)=-2x²+20x+504.
∴w={16x+504(0＜x≤2),-2x²+20x+504(2＜x≤6).
(2)当0＜x≤2时，w=16x+504.
∵k=16＞0，
∴当x=2时，w=16x+504的最大值为536. 当2＜x≤6时，w=-2x²+20x+504=-2(x-5)²+554.
∵a=-2＜0，
∴当x=5时取最大值554.
∵554＞536，
∴当x=5时取最大值554.
∴当该公司每年的国外销售量为5万件，国内销售量为1万件时，可使公司每年的总利润最大，最大利润是554万元.
(3)
∵该公司计划在国内销售不低于4万件，即6-x≥4，则x≤2，
∴该公司每年在国外销售的件数x的范围为0≤x≤2，则总利润w'=(100-2m)x+(84-m)(6-x)=(16-m)x+504-6m.
∵1≤m≤4，
∴16-m＞0.
∴当x=2时，w'取得最大值. 依题意，得2(16-m)+504-6m=536-8m=520，解得m=2.
∴m的值为2.