《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

1. (3分)已知 $ x_1 $,$ x_2 $ 是一元二次方程 $ x^2 - 2x = 0 $ 的两个实数根,下列结论错误的是(D)
A.$ x_1 \neq x_2 $
B.$ x_1^2 - 2x_1 = 0 $
C.$ x_1 + x_2 = 2 $
D.$ x_1x_2 = 2 $

答案： D

2. (3分)(2025·聊城东阿县期末)若 $ a $,$ b $ 是方程 $ x^2 + x - 3 = 0 $ 的两个实数根,则 $ ab - a - b $ 的值为-2。

答案： -2

3. (3分)(2023·宜昌中考)已知 $ x_1 $,$ x_2 $ 是方程 $ 2x^2 - 3x + 1 = 0 $ 的两根,则代数式 $ \frac{x_1 + x_2}{1 + x_1x_2} $ 的值为1。

答案： 1

4. (6分)设 $ x_1 $,$ x_2 $ 是方程 $ 2x^2 - \sqrt{6}x - 1 = 0 $ 的两个根,不解方程,求下列各式的值：
(1) $ (x_1 - x_2)^2 $；
(2) $ \left( x_1 + \frac{1}{x_2} \right)\left( x_2 + \frac{1}{x_1} \right) $。

答案： 解：
∵x₁，x₂是方程2x²-√6x-1=0的两个根，
∴$x₁+x₂=-\frac{-\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}，$$x₁x₂=-\frac{1}{2}.(1)(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=(\frac{\sqrt{6}}{2})²-4×(-\frac{1}{2})=\frac{7}{2}.(2)(x₁+\frac{1}{x₂})(x₂+\frac{1}{x₁})=x₁x₂+1+1+\frac{1}{x₁x₂}=-\frac{1}{2}+2+\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}.$

5. (3分)(2025·淮安期中)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + nx + m = 0 $ 的两根中只有一个等于0,则下列条件正确的是(D)
A.$ m = 0 $,$ n = 0 $
B.$ m \neq 0 $,$ n \neq 0 $
C.$ m \neq 0 $,$ n = 0 $
D.$ m = 0 $,$ n \neq 0 $

答案： D

6. (3分)(2024·乐山中考)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 2x + p = 0 $ 的两根为 $ x_1 $,$ x_2 $,且 $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3 $,则 $ p $ 的值为(A)
A.$ -\frac{2}{3} $
B.$ \frac{2}{3} $
C.$ -6 $
D.$ 6 $

答案： A

7. (3分)(2023·达州中考)已知 $ x_1 $,$ x_2 $ 是方程 $ 2x^2 + kx - 2 = 0 $ 的两个实数根,且 $ (x_1 - 2)(x_2 - 2) = 10 $,则 $ k $ 的值为7。

答案： 7 解析：
∵x₁，x₂是方程2x²+kx-2=0的两个实数根，
∴$x₁+x₂=-\frac{k}{2}，$x₁x₂=-1.
∴$(x₁-2)(x₂-2)=x₁x₂-2(x₁+x₂)+4=-1-2×(-\frac{k}{2})+4=10，$解得k=7.

8. (6分)(2025·武威期末)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + (2m + 1)x + m^2 + 1 = 0 $。
(1)若方程有实数根,求实数 $ m $ 的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为 $ x_1 $,$ x_2 $,且满足 $ x_1^2 + x_2^2 = 15 $,求实数 $ m $ 的值。

答案： 解：
(1)
∵关于x的一元二次方程x²+(2m+1)x+m²+1=0有实数根，
∴b²-4ac=(2m+1)²-4(m²+1)=4m-3≥0，解得$m≥\frac{3}{4}，$即m的取值范围是$m≥\frac{3}{4}.(2)$
∵x₁+x₂=-(2m+1)，x₁x₂=m²+1，
∴x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=(2m+1)²-2(m²+1)=2m²+4m-1.
∵x₁²+x₂²=15，
∴2m²+4m-1=15，即m²+2m-8=0，解得m=2或m=-4.
∵$m≥\frac{3}{4}，$
∴m=2.故m的值为2.

12. (3分)若 $ x_1 $,$ x_2 $ 是一元二次方程 $ x^2 - 2x - 3 = 0 $ 的两个实数根,则 $ |x_1 - x_2| $ 的值是______。

答案： 4

13. (3分)(2025·菏泽郓城县期中)如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $($ a \neq 0 $)有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”。已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - (m - 1)x - m = 0 $($ m $ 是常数)是“邻根方程”,则 $ m $ 的值为______。

答案： 0或-2 解析：设方程的两个根分别为t，t+1.根据根与系数的关系，得t+t+1=m-1，t(t+1)=-m，两式相加，得2t+1+t²+t=-1.整理，得t²+3t+2=0，解得t₁=-1，t₂=-2.当t=-1时，-1-1+1=m-1，解得m=0；当t=-2时，-2-2+1=m-1，解得m=-2.所以m的值为0或-2.

14. (6分)(2024·内江中考)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - px + 1 = 0 $($ p $ 为常数)有两个不等的实数根 $ x_1 $ 和 $ x_2 $。
(1)填空：$ x_1 + x_2 = $______,$ x_1x_2 = $______；
(2)求 $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} $,$ x_1 + \frac{1}{x_1} $；
(3)已知 $ x_1^2 + x_2^2 = 2p + 1 $,求 $ p $ 的值。

答案： 解：
(1)p 1
(2)
∵x₁+x₂=p，x₁x₂=1，
∴$\frac{1}{x₁}+\frac{1}{x₂}=\frac{x₂+x₁}{x₁x₂}=\frac{p}{1}=p.$
∵关于x的一元二次方程x²-px+1=0(p为常数)有两个不相等的实数根x₁和x₂，
∴x₁²-px₁+1=0.
∴$x₁-p+\frac{1}{x₁}=0，$即$x₁+\frac{1}{x₁}=p.(3)$由根与系数的关系，得x₁+x₂=p，x₁x₂=1.
∵x₁²+x₂²=2p+1，
∴(x₁+x₂)²-2x₁x₂=2p+1.
∴p²-2=2p+1，解得p₁=3，p₂=-1.当p=3时，Δ=p²-4=9-4=5＞0，符合题意；当p=-1时，Δ=p²-4=-3＜0，不符合题意，舍去.
∴p=3.