《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

8. (11分)(2025·南通如皋市质检)二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c ( a \neq 0 ) $ 的图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)直接写出方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = - 4 $ 的两个根;
(2)直接写出不等式 $ a x ^ { 2 } + b x + c ＞ 0 $ 的解集.

答案： 解：
(1)根据图象得二次函数$y=ax^{2}+bx+c$（$a≠0$）的图象与x轴的交点坐标为$(-1,0)$，$(3,0)$，
∴其顶点的横坐标为$\frac{-1+3}{2}=1$.
∴方程$ax^{2}+bx+c=-4$的两个根为$x_{1}=x_{2}=1$.
(2)根据图象得二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$的图象与x轴的交点坐标为$(-1,0)$，$(3,0)$，
∴$ax^{2}+bx+c＞0$的解集为$x＜-1$或$x＞3$.

9. (3分)若函数 $ y = - x ^ { 2 } + 4 x - 2 k $ 的图象与坐标轴有两个交点,则 $ k $ 的值为 (C)
A.$ k = 2 $
B.$ k = 0 $
C.$ k = 0 $ 或 $ k = 2 $
D.$ k ＜ 2 $

答案： C

10. (3分)(2025·滨州邹平市期末)已知抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $ 上的部分点的横坐标 $ x $ 与纵坐标 $ y $ 的对应值如表:

以下结论正确的是 (C)
A.抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $ 的开口向下
B.抛物线的对称轴是 $ y $ 轴
C.方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 $ 的根为 $ 0 $ 和 $ 2 $
D.当 $ x ＜ 3 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大

答案： C 解析：将$(-1,3)$，$(0,0)$，$(1,-1)$代入$y=ax^{2}+bx+c$，得$\left\{\begin{array}{l} a-b+c=3,\\ c=0,\\ a+b+c=-1,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=-2,\\ c=0.\end{array}\right.$
∴$y=x^{2}-2x$.A.
∵$a=1$，
∴抛物线开口向上.故选项A错误，不符合题意.B.图象对称轴为直线$x=1$，故选项B错误，不符合题意.C.
∵$y=x^{2}-2x=x(x-2)=0$，
∴$x=0$或$x=2$.
∴方程$ax^{2}+bx+c=0$的根为0和2.故选项C正确，符合题意.D.
∵图象对称轴为直线$x=1$，开口向上，
∴当$x＞1$时，y随x的增大而增大.故选项D错误，不符合题意.

11. (3分)(2023·衡阳中考)已知 $ m ＞ n ＞ 0 $,若关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } + 2 x - 3 - m = 0 $ 的解为 $ x _ { 1 } $,$ x _ { 2 } ( x _ { 1 } ＜ x _ { 2 } ) $,关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } + 2 x - 3 - n = 0 $ 的解为 $ x _ { 3 } $,$ x _ { 4 } ( x _ { 3 } ＜ x _ { 4 } ) $,则下列结论正确的是 (B)
A.$ x _ { 3 } ＜ x _ { 1 } ＜ x _ { 2 } ＜ x _ { 4 } $
B.$ x _ { 1 } ＜ x _ { 3 } ＜ x _ { 4 } ＜ x _ { 2 } $
C.$ x _ { 1 } ＜ x _ { 2 } ＜ x _ { 3 } ＜ x _ { 4 } $
D.$ x _ { 3 } ＜ x _ { 4 } ＜ x _ { 1 } ＜ x _ { 2 } $

答案： B

12. (3分)若函数 $ y = ( a - 1 ) x ^ { 2 } - 4 x + 2 a $ 的图象与 $ x $ 轴有且只有一个交点,则 $ a $ 的值为-1或2或1.

答案： -1或2或1

13. (16分)(2025·德州德城区期中)如图,二次函数 $ y = x ^ { 2 } + b x + c ( a \neq 0 ) $ 的图象经过点 $ A ( 1, 0 ) $ 且与 $ y $ 轴交于点 $ C $,点 $ B $ 和点 $ C $ 关于该二次函数图象的对称轴直线 $ x = 2 $ 对称,一次函数 $ y = k x + m $ 的图象经过点 $ A $ 及点 $ B $.
(1)求二次函数与一次函数的解析式;
(2)根据图象,直接写出不等式 $ k x + m \leq x ^ { 2 } + b x + c $ 的解集.

答案： 解：
(1)
∵二次函数$y=x^{2}+bx+c(a≠0)$的图象经过点$A(1,0)$，
∴$1+b+c=0$.
∵二次函数图象的对称轴为直线$x=2$，
∴$-\frac{b}{2}=2$.
∴$b=-4$，$c=3$.
∴二次函数的解析式为$y=x^{2}-4x+3$.
∴$C(0,3)$.
∵点B和点C关于该二次函数图象的对称轴直线$x=2$对称，
∴$B(4,3)$.设一次函数的解析式为$y=kx+m$，
∴$\left\{\begin{array}{l} k+m=0,\\ 4k+m=3,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} k=1,\\ m=-1.\end{array}\right.$
∴一次函数的解析式为$y=x-1$.
(2)由图象可得不等式$kx+m≤x^{2}+bx+c$的解集为$x≤1$或$x≥4$.