《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

9. (3分)(2025·无锡江阴市期末)如图,点$A$,$B$,$C$,$D$,$E在\odot O$上,$AB= CD$,$\angle AOB= 42^{\circ}$,则$\angle CED= $(D)

A.$48^{\circ}$
B.$24^{\circ}$
C.$22^{\circ}$
D.$21^{\circ}$

答案： D

10. (3分)(2025·北京海淀区质检)如图,$AB是\odot O$的直径,点$D在弦BC$的延长线上,$CD= BC$,$DA的延长线交\odot O于点E$,若$\angle DAB= 130^{\circ}$,则$\angle E$的度数为25°.

答案： 25°

11. (6分)如图,在$\triangle ABC$中,$AC= BC$,以$AB为直径的\odot O分别交AC$,$BC于点E$,$F$.求证：$\overset{\frown}{AE}= \overset{\frown}{BF}$.

答案：
证明：如图，连接 OE，OF.

∵AC=BC，
∴∠A=∠B.
∵∠EOB=2∠A，∠FOA=2∠B，
∴∠EOB=∠FOA.
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AF}$.
∴$\overset{\frown}{AF}-\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{BE}-\overset{\frown}{EF}$，
即$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$.

12. (8分)(2025·钦州钦南区期中)如图,$AB是\odot O$的一条弦,半径$OD\perp AB于点C$,点$E在\odot O$上.
(1)若$\angle AOB= 100^{\circ}$,求$\angle AED$的度数；
(2)若$AB= 8$,$DC= 2$,求$\odot O$的半径.

答案： 解：
(1)
∵OD⊥AB 于点 C，
∴OD 垂直平分 AB.
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$.
又
∵∠AOB=100°，
∴∠AOD=∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=50°.
∴∠AED=$\frac{1}{2}$∠AOD=25°.
(2)设⊙O 的半径为 r.
∵DC=2，
∴OC=OD - CD=r - 2.
∵OD⊥AB 于点 C，
∴OD 垂直平分 AB.
∵AB=8，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=4.
在 Rt△AOC 中，OA²=AC²+OC²，即 r²=4²+(r - 2)²，解得 r=5.故⊙O 的半径为 5.

13. (13分)我们把$1^{\circ}的圆心角所对的弧叫作1^{\circ}$的弧.由此可知: 命题“圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半”是真命题,已知,$\overset{\frown}{AC}的度数为\alpha$,$\overset{\frown}{BD}的度数为\beta$.
(1)如图(1),$\odot O的两条弦AB$,$CD相交于圆内一点P$,求证：$\angle APC= \frac{1}{2}(\alpha+\beta)$.
(2)如图(2),$\odot O的两条弦BA$,$DC的延长线相交于圆外一点P$.问题(1)中的结论是否成立？如果成立,给予证明；如果不成立,写出一个类似的结论,并证明.

答案：
13.
(1)证明：如图，连接 BC.

∵∠PCB 的度数等于$\overset{\frown}{BD}$的度数的一半，∠PBC 的度数等于$\overset{\frown}{AC}$的度数的一半，$\overset{\frown}{AC}$的度数为α，$\overset{\frown}{BD}$的度数为β，
∴∠PCB=$\frac{1}{2}$β，∠PBC=$\frac{1}{2}$α.
∵∠APC=∠PBC+∠PCB，
∴∠APC=$\frac{1}{2}$α+$\frac{1}{2}$β=$\frac{1}{2}$(α+β).
(2)解：问题
(1)中的结论不成立，类似的结论为∠APC=$\frac{1}{2}$(β - α).证明如下：
如图，连接 BC.

∵∠APC+∠PBC=∠BCD，
∴∠APC=∠BCD - ∠PBC.
∵∠BCD 的度数等于$\overset{\frown}{BD}$的度数的一半，∠PBC 的度数等于$\overset{\frown}{AC}$的度数的一半，$\overset{\frown}{AC}$的度数为α，$\overset{\frown}{BD}$的度数为β，
∴∠APC=$\frac{1}{2}$β - $\frac{1}{2}$α=$\frac{1}{2}$(β - α).