《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

9. (14分)(2023·温州中考)如图,一次足球训练中,小明从球门正前方 $ 8 $ m 的 $ A $ 处射门,球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为 $ 6 $ m 时,球达到最高点,此时球离地面 $ 3 $ m.已知球门高 $ OB $ 为 $ 2.44 $ m.
(1)求抛物线的函数解析式,并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素,无需写出自变量的取值范围);
(2)对本次训练进行分析,若射门路线的形状、最大高度均保持不变,则当时他应该带球向正后方移动多少米射门,才能让足球经过点 $ O $ 正上方 $ 2.25 $ m 处?

答案： 解：
(1)
∵8 - 6 = 2，
∴抛物线的顶点坐标为(2，3).设抛物线为$y=a(x-2)^{2}+3$.把A(8，0)代入，得$36a+3=0$，解得$a=-\frac{1}{12}$.
∴抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-2)^{2}+3$.当x = 0时，$y=-\frac{1}{12}× 4+3=\frac{8}{3}＞2.44$，
∴球不能射进球门.
(2)设小明带球向正后方移动m m，则移动后的抛物线为$y=-\frac{1}{12}(x-2-m)^{2}+3.(m＞0)$把(0，2.25)代入，得$2.25=-\frac{1}{12}(0-2-m)^{2}+3$，解得m = - 5(舍去)或m = 1.
∴当时他应该带球向正后方移动1 m射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处.

10. (15分)(2024·武汉中考)16世纪中叶,我国发明了一种新式火箭"火龙出水",它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线,当火箭运行一定水平距离时,自动引发火箭第二级,火箭第二级沿直线运行.某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图,以发射点为原点、地平线为 $ x $ 轴、垂直于地面的直线为 $ y $ 轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线 $ y = ax^2 + x $ 和直线 $ y = -\frac{1}{2}x + b $.其中,当火箭运行的水平距离为 $ 9 $ km 时,自动引发火箭的第二级.
(1)若火箭第二级的引发点的高度为 $ 3.6 $ km.
①直接写出 $ a $,$ b $ 的值;
②火箭在运行过程中,有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 $ 1.35 $ km,求这两个位置之间的距离.
(2)直接写出当 $ a $ 满足什么条件时,火箭落地点与发射点的水平距离超过 $ 15 $ km.

答案： 解：
(1)①
∵$y=ax^{2}+x$经过点(9，3.6)，
∴$81a+9=3.6$，解得$a=-\frac{1}{15}$.
∵$y=-\frac{1}{2}x+b$经过点(9，3.6)，
∴$3.6=-\frac{1}{2}× 9+b$，解得b = 8.1.②由①得$y=-\frac{1}{15}x^{2}+x=-\frac{1}{15}(x^{2}-15x+\frac{225}{4})+\frac{15}{4}=-\frac{1}{15}(x-\frac{15}{2})^{2}+\frac{15}{4}(0\leqslant x\leqslant 9)$.
∴火箭运行的最高点是$\frac{15}{4}km$.
∴$\frac{15}{4}-1.35=2.4(km)$.
∴$2.4=-\frac{1}{15}x^{2}+x$，解得$x_{1}=12＞9$(不符合题意，舍去)，$x_{2}=3$.由①得$y=-\frac{1}{2}x+8.1$.
∴$2.4=-\frac{1}{2}x+8.1$，解得x = 11.4.
∴$11.4-3=8.4(km)$.答：这两个位置之间的距离为8.4 km.
(2)当x = 9时，$y=81a+9$.
∴火箭第二级的引发点的坐标为(9，81a+9).设火箭落地点与发射点的水平距离为15 km.
∴$y=-\frac{1}{2}x+b$经过点(9，81a+9)，(15，0).
∴$\begin{cases} -\frac{1}{2}× 9+b=81a+9 \\ -\frac{1}{2}× 15+b=0 \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-\frac{2}{27} \\ b=7.5 \end{cases}$
∴$-\frac{2}{27}＜a＜0$时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km.