《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

10. (3 分)(2025·天津期中)在同一平面直角坐标系中, 一次函数 $ y = ax + c $ 和二次函数 $ y = ax^2 + c $ 的图象大致为 (B)

答案： B

11. (3 分)(2025·齐齐哈尔龙江县质检)如图, 两条抛物线 $ y_1 = -\dfrac{1}{2}x^2 + 1 $ 与 $ y_2 = -\dfrac{1}{2}x^2 - 1 $ 分别经过点 $ (-2, -1) $, $ (2, -3) $, 则平行于 $ y $ 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 ______.

答案：
8 解析：由抛物线的解析式可知二次项系数相同，故抛物线y₁=-$\frac{1}{2}$x²+1向下平移2个单位长度得到抛物线y₂=-$\frac{1}{2}$x²-1，阴影部分的面积恰好拼接为如图所示的矩形面积.
　　　　　
∴阴影部分的面积为2×|-2-2|=8.

12. (3 分)如图, 二次函数 $ y = ax^2 + c(a ＜ 0) $ 的图象过正方形 $ ABOC $ 的三个顶点 $ A $, $ B $, $ C $, 则 $ ac $ 的值是 ______.

-2

答案： -2 解析：
∵二次函数y=ax²+c(a＜0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，
∴B(-$\frac{1}{2}$c，$\frac{1}{2}$c)，C($\frac{1}{2}$c，$\frac{1}{2}$c)，A(0，c).把点C的坐标代入解析式，得a($\frac{1}{2}$c)²+c=$\frac{1}{2}$c，则ac=-2.

13. (9 分)如图, 已知抛物线的顶点为 $ A(0, 1) $, 矩形 $ CDEF $ 的顶点 $ C $, $ F $ 在抛物线上, 点 $ D $, $ E $ 在 $ x $ 轴上, $ CF $ 交 $ y $ 轴于点 $ B(0, 2) $, 且矩形的面积为 8.
(1)求此抛物线的函数解析式;
(2)求当 $ -1 \leq x \leq 3 $ 时, $ y $ 的取值范围;
(3)直接写出当 $ y ＞ 3 $ 时, $ x $ 的取值范围.

答案： 解：
(1)
∵A(0，1)为抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为y轴.
∵点C，F在抛物线上，
∴BC=BF.
∵矩形CDEF的面积为CF·OB=8，
∴CF=$\frac{8}{OB}$=$\frac{8}{2}$=4.
∴BC=BF=2.
∴点F的坐标为(2，2).设抛物线的函数解析式为y=ax²+1.把(2，2)代入解析式，得2=4a+1，解得a=$\frac{1}{4}$.
∴抛物线的函数解析式为y=$\frac{1}{4}$x²+1.
(2)
∵抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴当x=0时，y取最小值1.
∵3-0＞0-(-1)，
∴当x=3时，y取最大值.把x=3代入y=$\frac{1}{4}$x²+1，得y=$\frac{13}{4}$.
∴1≤y≤$\frac{13}{4}$.
(3)把y=3代入y=$\frac{1}{4}$x²+1，得3=$\frac{1}{4}$x²+1，解得x=-2$\sqrt{2}$或x=2$\sqrt{2}$.
∴y＞3时，x＜-2$\sqrt{2}$或x＞2$\sqrt{2}$.

14. (10 分)(2025·武汉期中)如图(1), 抛物线 $ y = -\dfrac{1}{4}x^2 + 4 $ 交 $ x $ 轴于 $ A $, $ B $ 两点, 交 $ y $ 轴于点 $ C $.
(1)直接写出 $ A $, $ B $ 两点的坐标和直线 $ BC $ 的函数解析式;
(2)$ D $ 是直线 $ BC $ 上的点, 过点 $ D $ 作 $ x $ 轴的平行线, 交抛物线于 $ M $, $ N $ 两点(点 $ M $ 在点 $ N $ 的左侧), 若 $ DM = 3DN $, 求点 $ D $ 的横坐标;
(3)如图(2), 点 $ E $ 在第四象限的抛物线上运动, 点 $ F $ 与点 $ E $ 关于 $ y $ 轴对称, 直线 $ x = 1 $ 分别交直线 $ BE $, $ BF $, $ x $ 轴于 $ P $, $ Q $, $ G $ 三点, 求 $ PG - QG $ 的值.

答案： 解：
(1)对于y=-$\frac{1}{4}$x²+4，当x=0时，y=4，则点C(0，4).令y=-$\frac{1}{4}$x²+4=0，则x=±4，则点A，B的坐标分别为(-4，0)，(4，0).设直线BC的函数解析式为y=kx+4.将点B的坐标代入上式，得0=4k+4，解得k=-1.故直线BC的函数解析式为y=-x+4.
(2)设点M的坐标为(m，-$\frac{1}{4}$m²+4)，则点N(-m，-$\frac{1}{4}$m²+4)，点D($\frac{1}{4}$m²，-$\frac{1}{4}$m²+4).
∵DM=3DN，
∴$\frac{1}{4}$m²-m=±3($\frac{1}{4}$m²+m)，解得m=0(舍去)或m=-2或m=-8.故点D的横坐标为1或16.
(3)设点E的坐标为(m，-$\frac{1}{4}$m²+4)，则点F(-m，-$\frac{1}{4}$m²+4).由点B，E的坐标，得直线BE的函数解析式为y=-$\frac{1}{4}$(m+4)(x-4).当x=1时，y=-$\frac{1}{4}$(m+4)(x-4)=$\frac{3}{4}$m+3，则点P的坐标为(1，$\frac{3}{4}$m+3).同理可得点Q的坐标为(1，-$\frac{3}{4}$m+3)，则PG-QG=$\frac{3}{4}$m+3-(-$\frac{3}{4}$m+3)=6.