《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

10. (3分)(2025·新乡期末)下面关于$x$的方程中:①$ax^{2}+x + 2 = 0$;②$3(x - 9)^{2}-(x + 1)^{2}= 1$;③$x + 3= \frac{1}{x}$;④$x^{2}-a = 0$($a$为任意实数);⑤$\sqrt{x + 1}= x - 1$.一元二次方程有 (B)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： B

11. (3分)已知关于$x的一元二次方程(a - 1)x^{2}-2x + a^{2}-1 = 0有一个根为x = 0$,则$a$的值为 (D)
A.$0$
B.$\pm 1$
C.$1$
D.$-1$

答案： D

12. (3分)扬帆中学有一块长$30m$、宽$20m$的矩形空地,计划在这块空地上划出四分之一的区域(图中阴影部分)种花,小禹同学设计的方案如图所示,求花带的宽度.设花带的宽度为$x m$,则可列方程为 (D)

A.$(30 - x)(20 - x)= \frac{3}{4}×20×30$
B.$(30 - 2x)(20 - x)= \frac{1}{4}×20×30$
C.$30x + 2×20x= \frac{1}{4}×20×30$
D.$(30 - 2x)(20 - x)= \frac{3}{4}×20×30$

答案： D

13. (3分)(2025·包头质检)关于$x的一元二次方程(m - 3)x^{2}+m^{2}x = 9x + 5化为一般形式后不含x$的一次项,则$m$的值为-3.

答案： -3

14. (3分)(2025·青岛期中)生物兴趣小组的同学将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,若全组有$x$名同学,则根据题意列出的方程是x²-x-182=0.(化为一般形式)

答案： x²-x-182=0

15. (6分)已知关于$x的方程(m^{2}-9)x^{2}+(m + 3)x - 5 = 0$.
(1)当$m$为何值时,此方程是一元一次方程?并求出此时方程的解.
(2)当$m$为何值时,此方程是一元二次方程?并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项.

答案： 解：
(1)根据一元一次方程的定义可知m²-9=0，m+3≠0，解得m=3.此时方程为6x-5=0，解得x=$\frac{5}{6}$.
(2)根据一元二次方程的定义可知m²-9≠0，解得m≠±3.该方程的二次项系数为m²-9(m≠±3)，一次项系数为m+3，常数项为-5.

16. (6分)(2025·淮南八公山区质检)定义:如果一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a \neq 0)满足a - b + c = 0$,那么我们称这个方程为“和谐方程”.
(1)判断一元二次方程$2x^{2}+7x + 5 = 0$是否为“和谐方程”,并说明理由;
(2)已知$3x^{2}-mx + n = 0是关于x$的“和谐方程”,若$x = -2$是此“和谐方程”的一个根,求$m$,$n$的值.

答案： 解：
(1)一元二次方程2x²+7x+5=0是“和谐方程”.理由如下：在一元二次方程2x²+7x+5=0中，a=2，b=7，c=5.
∵2-7+5=0，
∴一元二次方程2x²+7x+5=0是“和谐方程”.
(2)
∵3x²-mx+n=0是关于x的“和谐方程”，
∴3-(-m)+n=0，即3+m+n=0.
∵x=-2是此“和谐方程”的一个根，
∴3×(-2)²-m×(-2)+n=0，即$\begin{cases}3+m+n=0,\\12+2m+n=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-9,\\n=6.\end{cases}$
∴m的值为-9，n的值为6.