《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

11. (18分)(2025·广州模拟)过山车是一项富有刺激性的娱乐工具,深受年轻游客的喜爱.某游乐场修建了一款大型过山车.如图所示, $ A \to B \to C $ 为这款过山车的一部分轨道( $ B $ 为轨道最低点),它可以看成一段抛物线,其中 $ OA = 16.9 $ m,$ OB = 13 $ m(轨道厚度忽略不计).

(1)求抛物线 $ A \to B \to C $ 的函数解析式;
(2)在轨道上有两个位置点 $ P $ 和点 $ C $ 到地面的距离均为 $ n $ m,当过山车运动到点 $ C $ 处时,又进入下坡段 $ C \to E $ (接口处轨道忽略不计, $ E $ 为轨道最低点),已知轨道抛物线 $ C \to E \to F $ 的形状与抛物线 $ A \to B \to C $ 完全相同,点 $ E $ 的坐标为 $ (33,0) $,求 $ n $ 的值;
(3)现需要对轨道下坡段 $ A \to B $ 进行安全加固,建造某种材料的水平和竖直支架 $ GD $,$ GM $,$ HI $,$ HN $,且要求 $ MN = 2OM $,已知这种材料的价格是 $ 100000 $ 元/米,则当 $ OM $ 为多长时,造价最低? 最低造价为多少?

答案： 解：
(1)由题意可设抛物线的函数解析式为$y=m(x-13)^{2}$.把A(0，16.9)代入，得$m(0-13)^{2}=16.9$，解得m = 0.1.
∴抛物线A→B→C的函数解析式为$y=0.1(x-13)^{2}$.
(2)
∵OB = 13 m，点E的坐标为(33，0)，
∴BE = 20.
∵点P和点C到地面的距离均为n m，且点P，C在抛物线$y=0.1(x-13)^{2}$上，
∴点P，C关于直线x = 13对称.
∵C为两条形状完全相同的抛物线C→E→F与A→B→C的交点，
∴抛物线C→E→F可由抛物线A→B→C向右平移20个单位长度得到.
∴PC = BE = 20.
∴C(23，n)，P(3，n).将(3，n)代入$y=0.1(x-13)^{2}$，得$n=0.1(3-13)^{2}$，解得n = 10.
(3)设OM = a，则$y_{G}=0.1(a-13)^{2}$，$y_{H}=0.1(3a-13)^{2}$.
∴$l=GD+GM+HI+HN=a+0.1(a-13)^{2}+3a+0.1(3a-13)^{2}=a^{2}-6.4a+33.8=(a-3.2)^{2}+23.56$.
∵1 ＞ 0，
∴当a = 3.2时，l最短，最短为23.56 m.此时，$100000× 23.56=2356000$(元)，
∴当OM为3.2 m时，造价最低，最低造价为2356000元.