《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

9. (3 分)如图, 下列四个二次函数的图象, 分别对应的是 ① $ y = ax^2 $, ② $ y = bx^2 $, ③ $ y = cx^2 $, ④ $ y = dx^2 $, 则 $ a,b,c,d $ 的大小关系是 (A)

A.$ a ＞ b ＞ c ＞ d $
B.$ a ＞ b ＞ d ＞ c $
C.$ b ＞ a ＞ c ＞ d $
D.$ b ＞ a ＞ d ＞ c $

答案： A

10. (3 分)(2025·济宁嘉祥县期中)已知点 $ A(-4,y_1) $, $ B(-1,y_2) $, $ C(5,y_3) $ 都在二次函数 $ y = ax^2 (a ＜ 0) $ 的图象上, 则 $ y_1,y_2,y_3 $ 的大小关系用 “＜” 表示为 (B)
A.$ y_2 ＜ y_3 ＜ y_1 $
B.$ y_3 ＜ y_1 ＜ y_2 $
C.$ y_2 ＜ y_1 ＜ y_3 $
D.$ y_3 ＜ y_2 ＜ y_1 $

答案： B

11. (3 分)(2025·临沂质检)二次函数 $ y = ax^2 $ 与一次函数 $ y = ax + a $ 在同一直角坐标系中的大致图象为 (C)

答案： C

12. (3 分)已知二次函数 $ y = x^2 $, 若 $ x \geq m $ 时, $ y_{最小值} = 0 $, 则实数 $ m $ 的取值范围为 $m\leqslant0$.

答案： $m\leqslant0$ 解析：
∵二次函数$y=x^{2}$，
∴当$x=0$时，y有最小值，且$y_{最小值}=0$.
∵当$x\geqslant m$时，$y_{最小值}=0$，
$\therefore m\leqslant0$.

13. (8 分)已知正方形的周长为 $ C $, 面积为 $ S $.
(1)求 $ S $ 关于 $ C $ 的函数解析式, 并画出函数图象.
(2)当 $ S = 4 $ 时, 求该正方形的周长.
(3)当周长 $ C $ 取何值时, 其面积 $ S \geq 4 $?

答案：
解：
(1)正方形的周长为C，则边长为$\frac{1}{4}C$，
则$S=(\frac{1}{4}C)^{2}=\frac{1}{16}C^{2}$.
所画函数图象如图.

(2)$S=(\frac{1}{4}C)^{2}=\frac{1}{16}C^{2}=4$，解得$C=8$(负值已舍去).
(3)从图象可以看出，当周长$C\geqslant8$时，其面积$S\geqslant4$.

14. (12 分)(2025·鞍山质检)如图, 抛物线 $ y_1 = -x^2 $ 与直线 $ y_2 = -\frac{3}{2}x - \frac{9}{2} $ 交于 $ A,B $ 两点.
(1)求 $ A,B $ 两点的坐标.
(2)求 $ \triangle AOB $ 的面积.
(3)在 $ x $ 轴上是否存在一点 $ P $, 使 $ \triangle AOP $ 是等腰三角形? 若存在, 请直接写出点 $ P $ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.

答案：
解：
(1)令$y_{1}=y_{2}$，
$\therefore -x^{2}=-\frac{3}{2}x-\frac{9}{2}$，
解得$x_{1}=-\frac{3}{2}$，$x_{2}=3$.
当$x=-\frac{3}{2}$时，$y=-\frac{9}{4}$；
当$x=3$时，$y=-9$，
$\therefore A(-\frac{3}{2},-\frac{9}{4})$，$B(3,-9)$.
(2)如图，设直线AB交y轴于点C，过点A作$AD\perp x$轴于点D，过点B作$BE\perp x$轴于点E.

当$x=0$时，$y_{2}=-\frac{9}{2}$，
$\therefore OC=\frac{9}{2}$，$DE=OD+OE=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}$.
$\therefore S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}$
$=\frac{1}{2}OC\cdot DE$
$=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×\frac{9}{2}$
$=\frac{81}{8}$.
(3)存在.
$\because A(-\frac{3}{2},-\frac{9}{4})$，
$\therefore OA=\frac{3\sqrt{13}}{4}$.
当$OP=OA=\frac{3\sqrt{13}}{4}$时，$P_{1}(-\frac{3\sqrt{13}}{4},0)$，$P_{2}(\frac{3\sqrt{13}}{4},0)$.
当$OA=AP$时，$P_{3}(-3,0)$.
当$PA=PO$时，设$P(a,0)$，
$\therefore (a+\frac{3}{2})^{2}+(\frac{9}{4})^{2}=a^{2}$.
$\therefore a=-\frac{39}{16}$.
$\therefore P_{4}(-\frac{39}{16},0)$.
综上所述，点P的坐标为$(-\frac{3\sqrt{13}}{4},0)$或$(\frac{3\sqrt{13}}{4},0)$或$(-3,0)$或$(-\frac{39}{16},0)$.