《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

8. (3分)(2025·太原质检)如图,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,已知AB= BC,∠B= 40°,连接DE,EF,则∠DEF的度数为(B)

A.40°
B.55°
C.65°
D.70°

答案： B

9. (3分)(2025·绍兴模拟)如图,等边三角形的边长为a,高为h,内切圆、外接圆的半径分别为r,R,则下列结论不正确的是(C)

A.h= R+r
B.R= 2r
C.$r= \frac{\sqrt{3}}{4}a$
D.$R= \frac{\sqrt{3}}{3}a$

答案： C

10. (3分)如图,已知C是以AB为直径的半圆O上一点,I是△ABC的内心,AI,BI的延长线分别与半圆O交于点D,E,AB= 6,则DE的长为3$\sqrt{2}$.

答案： 3$\sqrt{2}$ 解析：如图，连接OE，OD.
∵I是△ABC的内心，
∴AI，BI分别平分∠CAB，∠ABC.
∴∠CAD=∠BAD，∠ABE=∠CBE.
∴$\widehat{AE}=\widehat{EC}$，$\widehat{CD}=\widehat{BD}$.
∵∠ACB是一个半圆，
∴∠EOD=180°×$\frac{1}{2}$=90°.
∵直径AB=6，
∴OE=OD=3.由勾股定理，得DE=$\sqrt{3^{2}+3^{2}}$=3$\sqrt{2}$.

11. (3分)(2025·南京鼓楼区期中)如图,⊙O是四边形ABCD的内切圆,若∠BOC= 118°,则∠AOD的度数为62°.

答案： 62°

12. (8分)如图,PA,PB与⊙O相切于点A,B,连接AB,PO交⊙O于点C,交AB于点M.求证：点C是△APB的内心.

答案： 证明：如图，连接AC，BC，OA，OB.
∵PA，PB与⊙O相切于点A，B，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO，OA⊥PA，OB⊥PB.
∵OA=OB，
∴OP垂直平分AB.
∵∠PAC+∠OAC=90°=∠BAC+∠OCA，∠OAC=∠OCA，
∴∠PAC=∠BAC.同理，∠PBC=∠ABC.
∵AC，BC，PC是△APB的角平分线，
∴点C是△APB的内心.

13. (9分)(2025·连云港赣榆区期中)一数学研究小组探究了以下相关的两个问题,请你也试试.
(1)如图(1),已知△ABC,BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线.试探究∠A与∠BOC的度数之间的关系；
(2)如图(2),已知点O是△ABC内切圆的圆心,点O'是△ABC外接圆的圆心.试探究∠BOC与∠BO'C的度数之间的关系.

答案：
(1)
∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$(180°-∠A).
∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A.
∴∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A.
(2)
∵点O是△ABC内切圆的圆心，
∴BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线.由
(1)，知∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A.
∵点O'是△ABC外接圆的圆心，
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠BO'C.
∴∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A =90°+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$∠BO'C=90°+$\frac{1}{4}$∠BO'C.
∴∠BOC=90°+$\frac{1}{4}$∠BO'C.