《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

9. (6 分)用适当的方法解下列方程：
(1)$ x^{2}+2x - 399= 0 $；
(2)$ x(x - 2)+x - 2= 0 $；
(3)$ (3x + 2)(x + 3)= 8x + 15 $。

答案： 解：
(1)移项，得x²+2x=399.
配方，得x²+2x+1=399+1，
即(x+1)²=400.
直接开平方，得x+1=20或x+1=-20，
解得x₁=19，x₂=-21.
(2)因式分解，得(x-2)(x+1)=0，
即x-2=0或x+1=0，
解得x₁=2，x₂=-1.
(3)方程整理，得x²+x-3=0.
∵a=1，b=1，c=-3，
∴b²-4ac=1²-4×1×(-3)=13.
∴x=(-1±√13)/2，
即x₁=(-1+√13)/2，x₂=(-1-√13)/2.

10. (3 分)下列解一元二次方程,“转化”正确的是(D)
A.$ (x - 2)^{2}= x + 1\Rightarrow x - 2= \pm\sqrt{x + 1} $
B.$ (x + 4)(x - 3)= 12\Rightarrow x + 4= 3 $ 与 $ x - 3= 4 $
C.$ (x + 1)^{2}= 4\Rightarrow x + 1= 2 $
D.$ (x - 2)^{2}= 0\Rightarrow x - 2= 0 $

答案： D

11. (3 分)若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-2px + 3q= 0 $ 的两根分别是 $ -3 $ 与 $ 5 $,则多项式 $ 2x^{2}-4px + 6q $ 可以分解为(C)
A.$ (x + 3)(x - 5) $
B.$ (x - 3)(x + 5) $
C.$ 2(x + 3)(x - 5) $
D.$ 2(x - 3)(x + 5) $

答案： C

12. (3 分)(2025·重庆万州区质检)用因式分解法解方程 $ x^{2}+px - 6= 0 $,若将左边分解后有一个因式是 $ x - 6 $,则 $ p $ 的值是-5。

答案： -5 解析：设另一个因式为x+a.
∵(x+a)(x-6)的常数项是-6，
∴a×(-6)=-6.
∴a=1.
∴x²+px-6=(x+1)(x-6)=x²+(-5)x-6.
∴p=-5.

13. (3 分)一个菱形的边长是关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-8x + 15= 0 $ 的一个根,若其中一条对角线长为 $ 8 $,则该菱形的面积为24。

答案： 24

14. (5 分)(2023·杭州中考)已知一元二次方程 $ x^{2}+bx + c= 0 $。在下面的四组条件中选择其中一组 $ b $,$ c $ 的值,使这个方程有两个不等的实数根,并解这个方程。
① $ b= 2 $,$ c= 1 $；② $ b= 3 $,$ c= 1 $；
③ $ b= 3 $,$ c= -1 $；④ $ b= 2 $,$ c= 2 $。

答案： 解：
∵使这个方程有两个不等的实数根，
∴b²-4ac＞0，即b²＞4c.
∴选②③均可.
选②解方程，则这个方程为x²+3x+1=0，
∴x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)=(-3±√5)/2.
∴x₁=(-3+√5)/2，x₂=(-3-√5)/2.
选③解方程，则这个方程为x²+3x-1=0，
∴x₁=(-3+√13)/2，x₂=(-3-√13)/2.

15. (10 分)(2025·西宁期中)[阅读材料]
方程 $ (x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+4= 0 $ 是一个一元四次方程,我们可以把 $ x^{2}-1 $ 看成一个整体,设 $ x^{2}-1= y $,则原方程可化为 $ y^{2}-5y + 4= 0 $,①
解方程①,得 $ y_{1}= 1 $,$ y_{2}= 4 $。
当 $ y= 1 $ 时,$ x^{2}-1= 1 $,
$ \therefore x^{2}= 2 $。$ \therefore x= \pm\sqrt{2} $。
当 $ y= 4 $ 时,$ x^{2}-1= 4 $,
$ \therefore x^{2}= 5 $。$ \therefore x= \pm\sqrt{5} $。
$ \therefore $ 原方程的解为 $ x_{1}= \sqrt{2} $,$ x_{2}= -\sqrt{2} $,$ x_{3}= \sqrt{5} $,$ x_{4}= -\sqrt{5} $。
[解决问题](1)在由原方程到方程①的过程中,是利用换元法达到降次的目的,体现了数学的转化思想。(填“降次”或“消元”)
(2)请仿照材料的方法,解下列方程：
① $ x^{4}-x^{2}-6= 0 $；
② $ (x^{2}-x)^{2}-4(x^{2}-x)-12= 0 $。

答案： 解：
(1)降次
(2)①x⁴-x²-6=0.
设x²=a，
∴原方程化为a²-a-6=0.
∴(a-3)(a+2)=0，
解得a₁=3，a₂=-2.
当a=3时，a=x²=3，
解得x₁=√3，x₂=-√3；
当a=-2时，a=x²=-2，不符合题意，
舍去.
∴原方程的根为x₁=√3，x₂=-√3.
②(x²-x)²-4(x²-x)-12=0.
设x²-x=y，
∴原方程化为y²-4y-12=0.
∴(y-6)(y+2)=0，
解得y₁=6，y₂=-2.
当y=6时，x²-x=6，即x²-x-6=0，
∴(x-3)(x+2)=0，
解得x₁=3，x₂=-2.
当y=-2时，x²-x=-2，即x²-x+2=0.
∵Δ=b²-4ac=1-8=-7＜0，
∴此方程无解.
∴原方程的根为x₁=3，x₂=-2.