《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

9. (3分)(2025·南京期末)已知 $ a $ 和 $ b $ 是方程 $ x^2 + 2024x - 4 = 0 $ 的两个解,则 $ a^2 + 2023a - b $ 的值为( )

A.2020
B.2024
C.2026
D.2028

答案： D

10. (3分)已知 $ a $,$ b $ 满足 $ a^2 - 6a + 2 = 0 $,$ b^2 - 6b + 2 = 0 $,则 $ \frac{b}{a} + \frac{a}{b} $ 的值为( )

A.$ -6 $
B.2
C.16
D.16或2

答案： D 解析：当a=b时，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=1+1=2；$当a≠b时，
∵a，b满足a²-6a+2=0，b²-6b+2=0，
∴a，b为一元二次方程x²-6x+2=0的两根.
∴a+b=6，ab=2.
∴$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{b²+a²}{ab}=\frac{(a+b)²-2ab}{ab}=\frac{36-4}{2}=16.$

11. (3分)在解一元二次方程 $ x^2 + px + q = 0 $ 时,小红看错了常数项 $ q $,得到方程的两个根是 $ -4 $,$ 2 $,小明看错了一次项系数 $ p $,得到方程的两个根是 $ 4 $,$ -3 $,则原来的方程是( )

A.$ x^2 + 2x - 8 = 0 $
B.$ x^2 + 2x - 12 = 0 $
C.$ x^2 - 2x - 12 = 0 $
D.$ x^2 - 2x - 8 = 0 $

答案： B

15. (9分)已知 $ □ ABCD $ 的两邻边的长 $ m $,$ n $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - kx + \frac{k}{2} - \frac{1}{4} = 0 $ 的两个实数根。
(1)求 $ k $ 的取值范围。
(2)当 $ k $ 为何值时,四边形 $ ABCD $ 是菱形？
(3)当 $ k $ 为何值时,四边形 $ ABCD $ 的两条对角线的长相等,且都等于 $ \frac{\sqrt{10}}{2} $？求出此时四边形 $ ABCD $ 的周长和面积。
解：
(1)
∵□ABCD的两邻边的长m，n是关于x的方程$x²-kx+\frac{k}{2}-\frac{1}{4}=0$的两个实数根，
∴$Δ=b²-4ac=(-k)²-4×1×(\frac{k}{2}-\frac{1}{4})≥0，$m+n=k＞0，$mn=\frac{k}{2}-\frac{1}{4}＞0.$
∴(k-1)²≥0，k＞0，$k＞\frac{1}{2}，$即k的取值范围是$k＞\frac{1}{2}.(2)$
∵要使四边形是菱形，则m=n，即方程有两个相等的实数根，
∴$Δ=b²-4ac=(-k)²-4×1×(\frac{k}{2}-\frac{1}{4})=0，$即k=1.
∴当k为1时，四边形ABCD是菱形.
(3)
∵四边形是平行四边形，且四边形的对角线相等，
∴四边形ABCD是矩形.
∴∠ABC=90°.由勾股定理，得$m²+n²=(\frac{\sqrt{10}}{2})²，$即$(m+n)²-2mn=\frac{5}{2}.$
∵m+n=k，$mn=\frac{k}{2}-\frac{1}{4}，$
∴$k²-2(\frac{k}{2}-\frac{1}{4})=\frac{5}{2}，$解得k₁=2，k₂=-1.由
(1)得$k＞\frac{1}{2}，$
∴k=2.把k=2代入方程，得$x²-2x+\frac{3}{4}=0.$解方程，得$m=\frac{1}{2}，$$n=\frac{3}{2}$或$n=\frac{1}{2}，$$m=\frac{3}{2}，$
∴矩形ABCD的周长是$2×(\frac{1}{2}+\frac{3}{2})=4，$面积是$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=\frac{3}{4}，$即此时四边形ABCD的周长是4，面积是$\frac{3}{4}.$

答案： 解：
(1)
∵□ABCD的两邻边的长m，n是关于x的方程$x²-kx+\frac{k}{2}-\frac{1}{4}=0$的两个实数根，
∴$Δ=b²-4ac=(-k)²-4×1×(\frac{k}{2}-\frac{1}{4})≥0，$m+n=k＞0，$mn=\frac{k}{2}-\frac{1}{4}＞0.$
∴(k-1)²≥0，k＞0，$k＞\frac{1}{2}，$即k的取值范围是$k＞\frac{1}{2}.(2)$
∵要使四边形是菱形，则m=n，即方程有两个相等的实数根，
∴$Δ=b²-4ac=(-k)²-4×1×(\frac{k}{2}-\frac{1}{4})=0，$即k=1.
∴当k为1时，四边形ABCD是菱形.
(3)
∵四边形是平行四边形，且四边形的对角线相等，
∴四边形ABCD是矩形.
∴∠ABC=90°.由勾股定理，得$m²+n²=(\frac{\sqrt{10}}{2})²，$即$(m+n)²-2mn=\frac{5}{2}.$
∵m+n=k，$mn=\frac{k}{2}-\frac{1}{4}，$
∴$k²-2(\frac{k}{2}-\frac{1}{4})=\frac{5}{2}，$解得k₁=2，k₂=-1.由
(1)得$k＞\frac{1}{2}，$
∴k=2.把k=2代入方程，得$x²-2x+\frac{3}{4}=0.$解方程，得$m=\frac{1}{2}，$$n=\frac{3}{2}$或$n=\frac{1}{2}，$$m=\frac{3}{2}，$
∴矩形ABCD的周长是$2×(\frac{1}{2}+\frac{3}{2})=4，$面积是$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=\frac{3}{4}，$即此时四边形ABCD的周长是4，面积是$\frac{3}{4}.$