《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

8. (3分)(2025·西安新城区期末)已知抛物线$ y = ax^{2}+bx 经过点 A( - 3,-3) $,且该抛物线的对称轴经过点$ A $,则该抛物线的函数解析式为 (A)
A.$ y= \frac{1}{3}x^{2}+2x $
B.$ y = - \frac{1}{3}x^{2}+2x $
C.$ y= \frac{1}{3}x^{2}-2x $
D.$ y = - \frac{1}{3}x^{2}-2x $

答案： A

9. (3分)(2025·淮安期中)已知抛物线的对称轴为直线$ x = - 2 $,且抛物线过点$( - 1,-1)$,$( - 4,0) $,则该抛物线的函数解析式为$y=\dfrac {1}{3}x^{2}+\dfrac {4}{3}x$.

答案： $y=\dfrac {1}{3}x^{2}+\dfrac {4}{3}x$

10. (3分)(2025·梅州丰顺县期末)有一条抛物线,三位学生分别说出了它的一些性质.甲说：“对称轴是直线$ x = 2 $.”乙说：“与$ x $轴的两个交点的距离为6.”丙说：“顶点与$ x $轴的交点围成的三角形面积等于9.”请你写出该抛物线函数解析式的顶点式：$y=-\dfrac {1}{3}(x - 2)^{2}+3$或$y=\dfrac {1}{3}(x - 2)^{2}-3$.

答案： $y=-\dfrac {1}{3}(x - 2)^{2}+3$或$y=\dfrac {1}{3}(x - 2)^{2}-3$

11. (9分)已知二次函数$ y = - x^{2}+bx + c $.
(1)当$ b = 4 $,$ c = 3 $时,求该函数图象的顶点坐标；
(2)当$ x\leqslant0 $时,$ y $的最大值为2；当$ x＞0 $时,$ y $的最大值为3,求二次函数的解析式.

答案： 解：
(1)$\because b = 4$，$c = 3$，
$\therefore y=-x^{2}+4x + 3=-(x - 2)^{2}+7$．
$\therefore$顶点坐标为$(2,7)$．
(2)$\because$当$x\leqslant 0$时，$y$的最大值为2；当$x＞0$时，$y$的最大值为3，
$\therefore$抛物线的对称轴$x=\dfrac {b}{2}$在$y$轴的右侧．
$\therefore b＞0$．
$\because$抛物线开口向下，当$x\leqslant 0$时，$y$的最大值为2，
$\therefore c = 2$．
又$\because \dfrac {4× (-1)× c - b^{2}}{4× (-1)}=3$，
$\therefore b=\pm 2$．
$\because b＞0$，
$\therefore b = 2$．
$\therefore$二次函数的解析式为$y=-x^{2}+2x + 2$．

12. (12分)(2025·包头期末)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$ y = ax^{2}+bx - 4(a\neq0) 与 x 轴交于点 A $,$ B $,与$ y 轴交于点 C $,且$ OB = 2OA $.过点$ A 的直线 y = x + 2 与抛物线交于点 E $.$ P $为第四象限内抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)在点$ P $的运动过程中,若存在点$ P 使得\triangle AEP $的面积最大,求$\triangle AEP 面积的最大值和点 P $的坐标.

答案：
解：
(1)令$y=x + 2 = 0$，则$x=-2$，
$\therefore A(-2,0)$．$\therefore OA = 2$．
$\because OB = 2OA$，$\therefore OB = 4$．$\therefore B(4,0)$．
将$A$，$B$两点代入$y=ax^{2}+bx - 4$，
得$\left\{\begin{array}{l} 16a + 4b - 4 = 0\\ 4a - 2b - 4 = 0\end{array}\right. $，解得$\left\{\begin{array}{l} a=\dfrac {1}{2}\\ b=-1\end{array}\right. $
$\therefore y=\dfrac {1}{2}x^{2}-x - 4$．
(2)$\because$直线$AE$与抛物线相交，
$\therefore$联立$\left\{\begin{array}{l} y=x + 2\\ y=\dfrac {1}{2}x^{2}-x - 4\end{array}\right. $
解得$\left\{\begin{array}{l} x = 6\\ y = 8\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} x=-2\\ y = 0\end{array}\right. $
$\therefore E(6,8)$，$A(-2,0)$．
如图，过点$P$作$PG\perp x$轴，交$AE$于点$G$．

设$P\left(t,\dfrac {1}{2}t^{2}-t - 4\right)$，则$G(t,t + 2)$．
$\therefore PG=(t + 2)-\left(\dfrac {1}{2}t^{2}-t - 4\right)=-\dfrac {1}{2}t^{2}+2t + 6$．
$\therefore S_{\triangle APE}=\dfrac {1}{2}× (2 + 6)× \left(-\dfrac {1}{2}t^{2}+2t + 6\right)=-2(t - 2)^{2}+32$．
$\therefore$当$t = 2$时，$\triangle AEP$的面积最大为32，此时点$P$的坐标为$(2,-4)$．