《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

6. (3分)(2025·陇南礼县期末)如图,$\odot O经过A$,$B$,$C$三点,$PA$,$PB分别与\odot O相切于点A$,$B$,若$\angle P = 48^{\circ}$,则$\angle C$的度数为66°.

答案： 66°

7. (8分)(2024·临夏州中考)如图,直线$l与\odot O相切于点D$,$AB为\odot O$的直径,过点$A作AE \perp l于点E$,延长$AB交直线l于点C$.
(1)求证:$AD平分\angle CAE$;
(2)若$BC = 1$,$DC = 3$,求$\odot O$的半径.

答案：
(1)证明：如图，连接OD.
∵直线l与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CE.
∵AE⊥CE，
∴OD//AE.
∴∠ODA = ∠EAD.
∵OA = OD，
∴∠ODA = ∠OAD.
∴∠OAD = ∠EAD.
∴AD平分∠CAE.
(2)解：设⊙O的半径为r，则OB = OD = r.
在Rt△OCD中，
∵OD = r，CD = 3，OC = r + 1，
∴r² + 3² = (r + 1)²，解得r = 4，
即⊙O的半径为4.

8. (3分)(2025·石家庄桥西区模拟)如图,$AB是\odot O$的直径,$P是\odot O$外一点,$PO交\odot O于点C$,连接$BC$,$PA$.若$\angle P = 40^{\circ}$,当$PA与\odot O$相切时,$\angle B$的度数为 (B)

A.$20^{\circ}$
B.$25^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$40^{\circ}$

答案： B

9. (3分)(2025·盐城亭湖区期中)如图,在平面直角坐标系中,点$P$在第一象限,$\odot P与x$轴、$y$轴都相切,且经过矩形$AOBC的顶点C与BC相交于点D$.若$\odot P$的半径为5,点$A的坐标是(0,9)$,则点$D$的坐标是 (A)

A.$(8,1)$
B.$(8,2)$
C.$(9,3)$
D.$(10,1)$

答案： A

10. (3分)如图,$\odot O与\triangle OAB的边AB$相切,切点为$B$.将$\triangle OAB绕点B按顺时针方向旋转得到\triangle O'A'B$,使点$O'落在\odot O$上,边$A'B交线段AO于点C$.若$\angle A' = 25^{\circ}$,则$\angle OCB = $85°.(填度数)

答案： 85° 解析：
∵⊙O与△OAB的边AB相切，
∴OB⊥AB.
∴∠OBA = 90°.
如图，连接OO'.
∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，
∴∠A = ∠A' = 25°，∠ABA' = ∠OBO'，
BO = BO'.
∵OB = OO'，
∴△OO'B为等边三角形，
∴∠OBO' = 60°.
∴∠ABA' = 60°.
∴∠OCB = ∠A + ∠ABC = 25° + 60° = 85°.

11. (8分)如图,$AB是\odot O$的直径,$BC与\odot O相切于点B$.

(1)若弦$AD // OC$,求证:$DC是\odot O$的切线;
(2)若$DC是\odot O$的切线,求证:$OC // AD$.

答案：
(1)证明：如图，连接OD.
∵AD//OC，
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠A.
∵OA = OD，
∴∠A = ∠2.
∴∠1 = ∠3.
在△OBC和△ODC中，
{OB = OD，
∠3 = ∠1，
OC = OC}
∴△OBC≌△ODC(SAS).
∴∠OBC = ∠ODC.
∵BC与⊙O相切于点B，
∴AB⊥BC.
∴∠OBC = 90°.
∴∠ODC = 90°，
∴OD⊥DC.
∴DC是⊙O的切线.
(2)如图.
∵BC与⊙O相切于点B，DC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，OD⊥DC.
∴∠OBC = ∠ODC = 90°.
在Rt△OBC和Rt△ODC中，
{OC = OC，OB = OD}
∴Rt△OBC≌Rt△ODC(HL).
∴∠3 = ∠1.
∵OA = OD，
∴∠A = ∠2.
∵∠BOD = ∠1 + ∠3 = ∠A + ∠2，
∴∠1 = ∠2.
∴OC//AD.

12. (12分)(2025·莆田期末)如图,半圆$O的直径是AB$,$AD$,$BC$是两条切线,切点分别为$A$,$B$,$CO平分\angle BCD$.
(1)求证:$CD是半圆O$的切线;
(2)若$AD = 20$,$CD = 50$,求$BC和AB$的长.

答案：
(1)证明：如图，过点O作OE⊥CD，垂足为E.
∵BC是半圆O的切线，B为切点，
∴OB⊥BC.
∵CO平分∠BCD，
∴OE = OB.
∵OB是半圆O的半径，
∴OE也是半圆O的半径.
∴CD是半圆O的切线.
(2)解：如图，连接OD，过点O作OE⊥CD，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F.
∴∠DFB = 90°.
∵AD是半圆O的切线，切点为A，
∴∠DAO = 90°.
∵OB⊥BC，
∴∠OBC = 90°.
∴四边形ADFB是矩形.
∴AD = BF = 20，DF = AB.
∵AD，CD，BC是半圆O的切线，切点分别为A，E，B，
易证△AOD≌△EOD，△OBC≌△OEC，
∴DE = AD = 20，EC = BC.
∵CD = 50，
∴EC = CD - DE = 50 - 20 = 30.
∴BC = 30.
∴CF = BC - BF = 10.
在Rt△CDF中，由勾股定理，得
DF = $\sqrt{DC² - CF²}$ = $\sqrt{50² - 10²}$ = 20$\sqrt{6}$，
∴AB = DF = 20$\sqrt{6}$
∴BC的长为30，AB的长为20$\sqrt{6}$