《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

9. (3 分)二次函数 $ y = a(x - 2)^2 + c $ 与一次函数 $ y = cx + a $ 在同一直角坐标系中的大致图象是 (B)

答案： B

10. (3 分)(2025·临沂平邑县质检)已知二次函数 $ y = a(x - 1)^2 - a(a\neq 0) $, 当 $ -1 \leq x \leq 4 $ 时, $ y $ 的最小值为 $ -4 $, 则 $ a $ 的值为 $-\frac{1}{2}$或4.

答案： $-\frac{1}{2}$或4 解析：$y=a(x-1)^2-a(a≠0)$的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-a)$.当$a＜0$时，函数有最大值$-a$，
∴在$-1≤x≤4$范围内，当$x=4$时，函数有最小值，
$\therefore 9a-a=-4$，解得$a=-\frac{1}{2}$.
当$a＞0$时，函数有最小值$-a$，
∴在$-1≤x≤4$范围内，当$x=1$时，函数有最小值.
$\therefore -a=-4$，解得$a=4$.
综上所述，a的值为$-\frac{1}{2}$或4.

11. (10 分)已知抛物线 $ l_1 $: $ y = a(x + 1)^2 - 4(a\neq 0) $ 经过点 $ A(1, 0) $.
(1)求抛物线 $ l_1 $ 的函数解析式;
(2)将抛物线 $ l_1 $ 向上平移 $ m(m ＞ 0) $ 个单位长度得到抛物线 $ l_2 $.若抛物线 $ l_2 $ 的顶点关于坐标原点 $ O $ 的对称点在抛物线 $ l_1 $ 上, 求 $ m $ 的值.

答案： 解：
(1)$\because y=a(x+1)^2-4(a≠0)$经过点A(1，0)，
$\therefore 4a-4=0$.
$\therefore a=1$.
∴抛物线$l_1$的函数解析式为$y=(x+1)^2-4$.
(2)$\because y=(x+1)^2-4$，
∴抛物线的顶点坐标为(-1，-4).
∵将抛物线$l_1$向上平移$m(m＞0)$个单位长度得到抛物线$l_2$，
∴抛物线$l_2$的顶点坐标为(-1，-4+m).
其关于原点的对称点为(1，4-m).
把(1，4-m)代入$y=(x+1)^2-4$，得$4-4=4-m$，
$\therefore m=4$.

12. (14 分)(2025·盐城亭湖区期中)如图, 已知二次函数 $ y = a(x - 3)^2 + 2(a\neq 0) $ 的图象经过点 $ (1, 0) $, 点 $ M(x_1, y_1) $, $ N(x_2, y_2) $ 在二次函数的图象上, 且满足 $ x_2 - x_1 = 5 $.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)若 $ y_1 = y_2 $, 此时二次函数图象的顶点为点 $ P $, 求 $ S_{\triangle PMN} $;
(3)在点 $ M $, $ N $ 之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为 $ -6 $, 求出此时点 $ M $, $ N $ 的坐标.

答案：
解：
(1)
∵二次函数$y=a(x-3)^2+2(a≠0)$的图象经过点(1，0)，
$\therefore 0=4a+2$.
$\therefore a=-\frac{1}{2}$.
∴二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2+2$.
(2)如图.

$\because y_1=y_2$，
∴M，N关于抛物线的对称轴对称.
∵对称轴是直线$x=3$，顶点为(3，2)，且$x_2-x_1=5$，
$\therefore \frac{x_1+x_2}{2}=3$.
$\therefore \begin{cases}x_1+x_2=6,\\x_2-x_1=5,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x_1=\frac{1}{2},\\x_2=\frac{11}{2}.\end{cases}$
$\therefore M\left(\frac{1}{2},-\frac{9}{8}\right)$，$N\left(\frac{11}{2},-\frac{9}{8}\right)$.
$\therefore PQ=2-\left(-\frac{9}{8}\right)=\frac{25}{8}$，$MN=\frac{11}{2}-\frac{1}{2}=5$.
$\therefore S_{\triangle PMN}=\frac{1}{2}MN\cdot PQ=\frac{1}{2}×5×\frac{25}{8}=\frac{125}{16}$.
(3)
∵在点M，N之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为-6，
$\therefore -6=-\frac{1}{2}(x-3)^2+2$.
$\therefore x=-1$或$x=7$.
当点$M(x_1,y_1)$为最低点时，点M需在对称轴的左侧.
$\because x_2-x_1=5$，在点M，N之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为-6，
$\therefore x_1=-1$，$x_2=4$.
当$x_2=4$时，$y_2=-\frac{1}{2}+2=\frac{3}{2}$，
$\therefore M(-1,-6)$，$N\left(4,\frac{3}{2}\right)$.
当点$N(x_2,y_2)$为最低点时，点N需在对称轴的右侧.
$\because x_2-x_1=5$，在点M，N之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为-6，
$\therefore x_2=7$，$x_1=2$.
当$x_1=2$时，$y_1=-\frac{1}{2}+2=\frac{3}{2}$，
$\therefore N(7,-6)$，$M\left(2,\frac{3}{2}\right)$.
综上所述，$M(-1,-6)$，$N\left(4,\frac{3}{2}\right)$或$N(7,-6)$，$M\left(2,\frac{3}{2}\right)$.