《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

7.(3分)(2025·长春模拟)用反证法证明命题“若⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为d,且d＞r,则点P在⊙O的外部”,首先应假设点 P 在⊙O 上或在⊙O 内.

答案： 点 P 在⊙O 上或在⊙O 内

8.(6分)(2025·菏泽定陶县质检)用反证法证明：在△ABC中,如果M,N分别是边AB,AC上的点,那么BN,CM不能互相平分.

答案： 解：已知：在△ABC 中，M，N 分别是边 AB，AC 上的点.
求证：BN，CM 不能互相平分.
证明：假设 BN，CM 能互相平分，则四边形 BCNM 为平行四边形，则 BM//CN，即 AB//AC，这与在△ABC 中，AB，AC 交于点 A 相矛盾，所以 BN，CM 能互相平分这个结论不成立，故 BN，CM 不能互相平分.

9.(3分)(2025·无锡江阴市质检)已知⊙O的半径r = 5,点P和圆心O之间的距离为d,且d是关于x的一元二次方程$x^{2}-6x - 16 = 0$的实数根,则点P与⊙O的位置关系是(C)
A.在圆上
B.在圆内
C.在圆外
D.不能确定

答案： C

10.(3分)如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,OE⊥AB交⊙O于点E,垂足为D,AE,CB的延长线交于点F.若OD = 3,AB = 8,则FC的长是(A)

A.10
B.8
C.6
D.4

答案： A

11.(3分)(2025·南昌东湖区质检)点O是△ABC的外心,若∠BOC = 110°,则∠BAC的度数为55°或 125°.

答案： 55°或 125°

12.(3分)如图,在△ABC中,AB = AC = $2\sqrt{5}$,BC = 4,D是AB的中点,若以点D为圆心、r为半径作⊙D,使点B在⊙D内,点C在⊙D外,则r的取值范围为______.

答案：
√5 ＜ r ＜ √13 解析：如图，连接 CD，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，显然 DF//AE.

∵AB = AC = 2√5，BC = 4，
∴BE = (1/2)BC = 2.
∴AE = √(AB² - BE²) = 4.
∵D 是 AB 的中点，即 DF 是中位线，
∴DF = (1/2)AE = 2，BF = (1/2)BE = 1.
∴CF = 3.
∴CD = √(DF² + CF²) = √13.
又
∵DB = (1/2)AB = √5，
∴r 的取值范围是√5 ＜ r ＜ √13.

13.(7分)(2025·杭州期中)如图,△ABC内接于⊙O,AF是⊙O的弦,AF⊥BC,垂足为D,E为$\overset{\frown}{BF}$上一点,且BE = CF.
(1)求证：AE是⊙O的直径；
(2)若∠ABC = ∠EAC,AE = 4,求AC的长.

答案：

(1)证明：
∵BE = CF，
∴⌢BE = ⌢CF.
∴∠BAE = ∠CAF.
∵AF⊥BC，
∴∠CAF + ∠ACB = 90°.
由圆周角定理，得∠ACB = ∠AEB，
∴∠BAE + ∠AEB = 90°.
∴∠ABE = 90°.
∴AE 是⊙O 的直径.
(2)解：如图，连接 CE.

∵AE 是⊙O 的直径，
∴∠ACE = 90°.
∵∠ABC = ∠EAC，
∴⌢AC = ⌢CE.
∴AC = CE.
∴AC = (√2/2)AE = 2√2.

14.(8分)用反证法证明：对角互补的四边形共圆.
已知：在四边形ABCD中,∠B + ∠ADC = 180°.
求证：四边形ABCD内接于一个圆(A,B,C,D四点共圆).

答案：
证明：如图
(1)，假设 A，B，C，D 四点不共圆，过 A，B，C 三点作圆，点 D 在圆内，延长 AD 与圆交于点 E，连接 CE，则∠B + ∠E = 180°.
∵∠ADC ＞ ∠E，
∴∠B + ∠ADC ＞ 180°.
这与已知条件∠B + ∠ADC = 180°矛盾，故假设不成立，原结论正确，A，B，C，D 四点共圆，即四边形 ABCD 内接于一个圆.
如图
(2)，假设 A，B，C，D 四点不共圆，点 D 在圆外，连接 AE，则∠B + ∠AEC = 180°.
∵∠ADC ＜ ∠AEC，
∴∠B + ∠ADC ＜ 180°，
这与已知条件∠B + ∠ADC = 180°矛盾，故假设不成立，原结论正确，A，B，C，D 四点共圆，即四边形 ABCD 内接于一个圆.