《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

7. (3分)(2025·广州质检)如图,$ \triangle ABC 与 \triangle A'B'C 关于点 C(0,-1) $成中心对称,若点A的坐标为$ (3,1) $,则点$ A' $的坐标为 (C)

A.$ (-3,-1) $
B.$ (-3,-2) $
C.$ (-3,-3) $
D.$ (-3,-4) $

答案： C

8. (3分)如图,$ □ ABCO 与 □ A'B'C'O $关于点O成中心对称,$ \angle BAO $的平分线交BC于点D,若$ BD = 3 $, $ CD = 2 $,则$ □ A'B'C'O $的周长为16.

答案： 16

9. (3分)(2025·德州德城区期末)如图,已知$ \triangle ABC 与 \triangle CDA $关于点O成中心对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,F,下面的结论:①点E和点F、点B和点D是关于中心O的对称点;②直线BD必经过点O;③四边形ABCD是中心对称图形;④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;⑤$ \triangle AOE 与 \triangle COF $成中心对称.其中,正确的为①②③④⑤.(填序号)

答案： ①②③④⑤

10. (10分)(2025·南昌期中)如图,正方形ABCD与正方形$ A_1B_1C_1D_1 $关于某点中心对称.已知A,$ D_1 $,D三点的坐标分别是$ (0,4) $, $ (0,3) $, $ (0,2) $.
(1)求对称中心Q的坐标,并仅用直尺画出点Q的位置;
(2)写出顶点B,C,$ B_1 $,$ C_1 $的坐标.

答案：
解：
(1)根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是$D_1D$的中点.
∵点$D_1$，D 的坐标分别是$(0,\ 3)$，$(0,\ 2)$，
∴对称中心点 Q 的坐标是$(0,\ 2.5)$.
如图，连接$BB_1$交$AA_1$于点 Q，则点 Q 即为所求.

(2)
∵点 A，D 的坐标分别是$(0,\ 4)$，$(0,\ 2)$，
∴正方形 ABCD 与正方形$A_1B_1C_1D_1$的边长都是$4 - 2 = 2$.
∴B，C 的坐标分别是$(-2,\ 4)$，$(-2,\ 2)$.
∵$A_1D_1 = 2$，$D_1$的坐标是$(0,\ 3)$，
∴$A_1$的坐标是$(0,\ 1)$.
∴$B_1$，$C_1$的坐标分别是$(2,\ 1)$，$(2,\ 3)$.
综上，可得顶点 B，C，$B_1$，$C_1$的坐标分别是$(-2,\ 4)$，$(-2,\ 2)$，$(2,\ 1)$，$(2,\ 3)$.

11. (12分)(2025·宿迁质检)如图,$ \triangle ABM 与 \triangle ACM $关于直线AF成轴对称,$ \triangle ABE 与 \triangle DCE $关于点E成中心对称,点E,D,M都在线段AF上,BM的延长线交CF于点P.
(1)求证:$ AC = CD $;
(2)若$ \angle BAC = 2\angle MPC $,请你判断$ \angle F 与 \angle MCD $的数量关系,并说明理由.

答案：
(1)证明：
∵$\triangle ABM$与$\triangle ACM$关于直线 AF 成轴对称，
∴$\triangle ABM\cong\triangle ACM$.
∴$AB = AC$.
又
∵$\triangle ABE$与$\triangle DCE$关于点 E 成中心对称，
∴$\triangle ABE\cong\triangle DCE$.
∴$AB = CD$.
∴$AC = CD$.
(2)解：$\angle F=\angle MCD$.理由如下：
由（1）可得$\angle BAE=\angle CAE=\angle CDE$，$\angle CMA=\angle BMA$.
∵$\angle BAC = 2\angle MPC$，$\angle BMA=\angle PMF$，
∴设$\angle MPC=\alpha$，则$\angle BAE=\angle CAE=\angle CDE=\alpha$.设$\angle BMA=\beta$，则$\angle PMF=\angle CMA=\beta$.
∴$\angle F=\angle MPC - \angle PMF=\alpha - \beta$，$\angle MCD=\angle CDE - \angle DMC=\alpha - \beta$.
∴$\angle F=\angle MCD$.